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pontos
Considere o elipsoide
. Determine uma equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o elipsoide com equação
e pede uma equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é definida implicitamente pela equação
. - O ponto onde se quer o plano tangente é
. - Verificação rápida (pegando os dados do enunciado): substituindo o ponto na equação do elipsoide obtém-se
logo o ponto realmente pertence ao elipsoide.
O que o problema pede explicitamente:
- Determinar a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto
.
Passo 2
Escolha do método (explicação do porquê): para superfícies dadas por uma equação do tipo
constante; é padrão e muito eficiente usar o gradiente de
. O gradiente fornece um vetor normal à superfície em cada ponto; sabendo o vetor normal no ponto dado, podemos escrever a equação do plano tangente. Vou usar esse método porque é direto e calculável com derivadas parciais simples.
Breve lembrete didático: se
define uma superfície, o vetor gradiente
é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto. A equação do plano tangente em um ponto
é então dada por
Aqui o ponto
é o ponto de tangência e o produto escalar representa que qualquer vetor contido no plano é ortogonal ao normal.
Passo 3
Definir a função
associada ao elipsoide e calcular as derivadas parciais.
Tomamos
de modo que a superfície é o conjunto
.
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Lembrete rápido sobre derivadas parciais:
é a derivada de
em relação a
mantendo
e
fixos; análogas interpretações valem para as outras variáveis.
Cálculos:
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto de tangência
.
Substituindo
nas expressões das derivadas parciais:
Portanto o vetor gradiente (vetor normal ao elipsoide naquele ponto) é
Passo 5
Usar o vetor normal para escrever a equação do plano tangente.
A fórmula do plano tangente em
é
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Simplificar a equação do plano para uma forma mais limpa.
Expandindo:
Somando os termos constantes:
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar):
Colocando no formato usual:
Pequena verificação final (conforto): substituindo o ponto
na equação do plano:
logo o ponto está no plano, como deve ser.