[4] (2,0 pontos ) Considere o elipsoide 4 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=16. Determine uma equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto (1,2,2).

Passo 1

O enunciado dá o elipsoide com equação
4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16
e pede uma equação do plano tangente a esse elipsoide no ponto (1,2,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é definida implicitamente pela equação \;4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16\;.
  • O ponto onde se quer o plano tangente é \;(1,2,2)\;.
  • Verificação rápida (pegando os dados do enunciado): substituindo o ponto na equação do elipsoide obtém-se
4\cdot1^{2}+2\cdot2^{2}+2^{2}=4+8+4=16,
logo o ponto realmente pertence ao elipsoide.
O que o problema pede explicitamente:
  • Determinar a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto (1,2,2).

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê): para superfícies dadas por uma equação do tipo \;F(x,y,z)= constante; é padrão e muito eficiente usar o gradiente de F. O gradiente fornece um vetor normal à superfície em cada ponto; sabendo o vetor normal no ponto dado, podemos escrever a equação do plano tangente. Vou usar esse método porque é direto e calculável com derivadas parciais simples.
Breve lembrete didático: se \;F(x,y,z)=c\; define uma superfície, o vetor gradiente
\nabla F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}\right)
é perpendicular (normal) à superfície em cada ponto. A equação do plano tangente em um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é então dada por
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Aqui o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é o ponto de tangência e o produto escalar representa que qualquer vetor contido no plano é ortogonal ao normal.

Passo 3

Definir a função F associada ao elipsoide e calcular as derivadas parciais.
Tomamos
F(x,y,z)=4x^{2}+2y^{2}+z^{2}-16,
de modo que a superfície é o conjunto F(x,y,z)=0.
Agora calculamos as derivadas parciais de F. Lembrete rápido sobre derivadas parciais: \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada de F em relação a x mantendo y e z fixos; análogas interpretações valem para as outras variáveis.
Cálculos:
\frac{\partial F}{\partial x}=8x, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=4y, \qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto de tangência (1,2,2).
Substituindo (x,y,z)=(1,2,2) nas expressões das derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}(1,2,2)=8\cdot1=8,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,2,2)=4\cdot2=8,
\frac{\partial F}{\partial z}(1,2,2)=2\cdot2=4.
Portanto o vetor gradiente (vetor normal ao elipsoide naquele ponto) é
\nabla F(1,2,2)=(8,\,8,\,4).

Passo 5

Usar o vetor normal para escrever a equação do plano tangente.
A fórmula do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(1,2,2)=(8,8,4) e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,2) obtemos
8(x-1)+8(y-2)+4(z-2)=0.

Passo 6

Simplificar a equação do plano para uma forma mais limpa.
Expandindo:
8x-8+8y-16+4z-8=0.
Somando os termos constantes:
8x+8y+4z-32=0.
Dividindo ambos os lados por 4 (para simplificar):
2x+2y+z-8=0.
Colocando no formato usual:
2x+2y+z=8.
Pequena verificação final (conforto): substituindo o ponto (1,2,2) na equação do plano:
2\cdot1+2\cdot2+2=2+4+2=8,
logo o ponto está no plano, como deve ser.

Resposta

2x+2y+z=8

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