Em cada caso, calcule a área do setor circular de raio r e ângulo central de medida \theta.
r=9 \mathrm{dm} e \theta=120^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do setor circular dado o raio e a medida do ângulo central. As informações fornecidas são:
  • r=9\\ \mathrm{dm}.
  • \theta=120^\circ.
    A pergunta é: qual é a área do setor circular correspondente a esse raio e ângulo?

Passo 2

Ideia e fórmula principal (explicação didática): a área de um círculo completo de raio r é
\pi r^2.
Um setor de ângulo \theta (medido em graus) é uma fração do círculo total; essa fração é \dfrac{\theta}{360}. Portanto a área do setor é essa fração vezes a área do círculo inteiro:
\text{Área do setor} = \frac{\theta}{360}\,\pi r^2.Á
Explicando as variáveis:
  • \theta é o ângulo central em graus;
  • r é o raio do círculo;
  • \pi é a constante geométrica (aprox. 3,14159\ldots).
    Observação: se \theta estiver em radianos, usa-se a fórmula alternativa
\text{Área do setor}=\frac{1}{2}r^2\theta,Á
porque um círculo completo tem 2\pi radianos.

Passo 3

Aplicando a fórmula com \theta em graus:
\text{Área}=\frac{120}{360}\,\pi\,(9)^2.Á
Calcule passo a passo:
\frac{120}{360}=\frac{1}{3}, \qquad 9^2=81.
Logo
\text{Área}=\frac{1}{3}\pi\cdot81=27\pi.Á
Não esquecer das unidades: como o raio foi dado em decímetros, a área fica em decímetros quadrados, isto é \mathrm{dm}^2.

Passo 4

Verificação alternativa (usando radianos) — bom para treinar e confirmar:
Converta \theta para radianos:
120^\circ = \frac{120\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}.
Use a fórmula \text{Área}=\dfrac{1}{2}r^2\thetaÁ:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot81\cdot\frac{2\pi}{3}=81\cdot\frac{\pi}{3}=27\pi,Á
concordando com o resultado anterior. Se quiser uma aproximação numérica,
27\pi\approx 84,823\\ \mathrm{dm}^2.

Resposta

27\pi\\ \mathrm{dm}^2

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