Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A variável
tende para . - A expressão a ser avaliada é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Identificar o tipo de indeterminação. Observe o comportamento dos fatores:
-
quando . -
diverge (porque tende a quando ).
Logo a forma é do tipo, que é uma indeterminação clássica. Para esse tipo de indeterminação é conveniente passar para o logaritmo natural e transformar o problema num limite de produto.
Passo 3
Definir a quantidade do limite e aplicar logaritmo. Seja
Como, para
suficiente próximo de
,
, pode-se tomar o logaritmo natural:
Calcular esse limite de
e depois exponenciar para obter
.
Passo 4
Manipular a expressão do logaritmo para separar termos mais simples:
Agora avaliamos os dois limites parciais quando
e
.
Passo 5
Avaliar
. Essa é uma das limites fundamentais e pode ser obtida por L’Hôpital (forma
):
Avaliar
. Como
e
, o produto tende a
. Mais formalmente,
permanece limitado perto de
, logo
Passo 6
Somando as duas contribuições obtemos
Portanto
Passo 7
Interpretação rápida / verificação intuitiva: a expressão pode ser reescrita como
Sabe-se que
e
quando
; multiplicando dá
, compatível com o resultado obtido.