Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 2}}(1+x)^{\frac{1+x y}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\\ y\rightarrow 2}}\bigl(1+x\bigr)^{\frac{1+xy}{x}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 0.
  • A variável y tende para 2.
  • A expressão a ser avaliada é \bigl(1+x\bigr)^{\frac{1+xy}{x}}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando (x,y) se aproxima de (0,2).

Passo 2

Identificar o tipo de indeterminação. Observe o comportamento dos fatores:
  • \bigl(1+x\bigr)\to 1 quando x\to 0.
  • \dfrac{1+xy}{x}=\dfrac{1}{x}+y diverge (porque \dfrac{1}{x} tende a \pm\infty quando x\to0).
    Logo a forma é do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação clássica. Para esse tipo de indeterminação é conveniente passar para o logaritmo natural e transformar o problema num limite de produto.

Passo 3

Definir a quantidade do limite e aplicar logaritmo. Seja
L=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\\ y\rightarrow 2}}\bigl(1+x\bigr)^{\frac{1+xy}{x}}.
Como, para x suficiente próximo de 0, 1+x>0, pode-se tomar o logaritmo natural:
\ln L=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\\ y\rightarrow 2}}\frac{1+xy}{x}\,\ln(1+x).
Calcular esse limite de \ln L e depois exponenciar para obter L.

Passo 4

Manipular a expressão do logaritmo para separar termos mais simples:
\frac{1+xy}{x}\,\ln(1+x)=\Bigl(\frac{1}{x}+y\Bigr)\ln(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{x}+y\ln(1+x).
Agora avaliamos os dois limites parciais quando x\to0 e y\to2.

Passo 5

Avaliar \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}. Essa é uma das limites fundamentais e pode ser obtida por L’Hôpital (forma 0/0):
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(1+x)}{\frac{d}{dx}x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{1+x}=1.
Avaliar \displaystyle\lim_{\substack{x\to0\\\ y\to2}}y\ln(1+x). Como y\to2 e \ln(1+x)\to0, o produto tende a 2\cdot 0=0. Mais formalmente, y permanece limitado perto de 2, logo
\lim_{\substack{x\to0\\\ y\to2}}y\ln(1+x)=2\cdot 0=0.

Passo 6

Somando as duas contribuições obtemos
\ln L = 1 + 0 = 1.
Portanto
L = e^{\ln L}=e^{1}=e.

Passo 7

Interpretação rápida / verificação intuitiva: a expressão pode ser reescrita como
\bigl(1+x\bigr)^{\frac{1+xy}{x}}=\bigl(1+x\bigr)^{1/x}\cdot\bigl(1+x\bigr)^{y}.
Sabe-se que \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e e \lim_{x\to0}(1+x)^{y}=1 quando y\to2; multiplicando dá e\cdot 1=e, compatível com o resultado obtido.

Resposta

e

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