Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
gamma: x=t^3, y=t^2, -1 <= t <= 3.

Passo 1

A questão nos dá a curva paramétrica γ: x=t³, y=t², para −1≤t≤3, e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica e vamos precisar da fórmula
L=integrala^braiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt, além de calcular x’(t) e y’(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t)=3t^2, y'(t)=2t

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento:
L=integral-1^3raiz(3t^2)^2+(2t)^2,dt=integral-1^3raiz9t^4+4t^2,dt=integral-1^3|t|raiz9t^2+4,dt

Passo 4

Como |t| muda de sinal em t=0, dividimos o intervalo:
L=integral-1^0(-t)raiz9t^2+4,dt+integral0^3traiz9t^2+4,dt

Passo 5

Para integrar t√(9t²+4) usamos u=9t²+4, du=18t dt, então
integral traiz9t^2+4,dt=118integral u^1/2,du=127u^3/2+C=127(9t^2+4)^3/2+C

Passo 6

Agora avaliamos cada parte:
Para t∈[0,3]:
integral0^3traiz9t^2+4,dt=l[127(9t^2+4)^3/2r]0^3=127l(85^3/2-4^3/2r)
Para t∈[−1,0]:
integral-1^0(-t)raiz9t^2+4,dt=-l[127(9t^2+4)^3/2r]-1^0=127l(13^3/2-4^3/2r)
Somando as duas partes obtém-se o comprimento final.

Resposta

L=127l(13^3/2+85^3/2-16r)=13raiz13+85raiz85-1627

Exercícios relacionados