Em cada caso, calcule o comprimento do arco
indicado:
.
Passo 1
Resumindo: a gente quer o comprimento do arco da curva paramétrica γ dada por x=e^t cos t, y=e^t sen t, para t de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
por isso precisamos das derivadas dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Vamos derivar x(t) e y(t) aplicando regra do produto. Temos
Passo 3
Agora montamos a soma dos quadrados das derivadas e simplificamos:
Expandindo dentro do colchete e somando dá 2, logo
A velocidade é então
Passo 4
Por fim integramos de t=0 a t=1: