Em cada caso, calcule o comprimento do arco gamma indicado:
gamma: x=e^t cos t, y=e^t sen t, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Resumindo: a gente quer o comprimento do arco da curva paramétrica γ dada por x=e^t cos t, y=e^t sen t, para t de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
L=integralt0^t1raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt
por isso precisamos das derivadas dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Vamos derivar x(t) e y(t) aplicando regra do produto. Temos
dxdt=ddt(e^tcos t)=e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t),
dydt=ddt(e^tsin t)=e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t)

Passo 3

Agora montamos a soma dos quadrados das derivadas e simplificamos:
l(dxdtr)^2+l(dydtr)^2=e^2t(cos t -sin t)^2+e^2t(sin t+cos t)^2
Expandindo dentro do colchete e somando dá 2, logo
l(dxdtr)^2+l(dydtr)^2=2e^2t
A velocidade é então
raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2=raiz2,e^t

Passo 4

Por fim integramos de t=0 a t=1:
L=integral0^1raiz2,e^t,dt=raiz2integral0^1e^t,dt=raiz2[e^t]0^1=raiz2(e-1)

Resposta

raiz2(e-1)

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