Em cada caso calcule o determinante Jacobiano da transformação dada.
x=4 u-3 v^{2} \quad y=u^{2}-6 v

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o determinante Jacobiano da transformação dada por
x = 4u - 3v^{2},\qquad y = u^{2} - 6v.
Informações relevantes fornecidas:
x(u,v)=4u-3v^{2},
y(u,v)=u^{2}-6v.
A tarefa é encontrar o Jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}, ou seja, o determinante da matriz das derivadas parciais de x e y em relação a u e v.

Passo 2

Definição e ideia para a prova (mini-aula): o determinante Jacobiano de uma transformação (u,v)\mapsto(x,y) é a determinant da matriz formada pelas derivadas parciais:
J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
O que isto significa na prática: cada entrada é a taxa de variação de uma das coordenadas x ou y quando eu mudo levemente u ou v, mantendo a outra variável fixa. Na prova você calcula cada derivada parcial tratando a outra variável como constante e depois aplica a regra do determinante ad-bc.]

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} e \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}, lembrando que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.
x(u,v)=4u-3v^{2}.
Derivando em relação a u: a derivada de 4u é 4 e a de -3v^{2} em relação a u é 0 (porque v é constante). Logo
\frac{\partial x}{\partial u}=4.
Derivando em relação a v: a derivada de 4u em relação a v é 0 e a de -3v^{2} é -6v. Logo
\frac{\partial x}{\partial v}=-6v.

Passo 4

Calcular \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} e \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}.
y(u,v)=u^{2}-6v.
Derivando em relação a u: a derivada de u^{2} é 2u e a de -6v é 0. Logo
\frac{\partial y}{\partial u}=2u.
Derivando em relação a v: a derivada de u^{2} em relação a v é 0 e a de -6v é -6. Logo
\frac{\partial y}{\partial v}=-6.

Passo 5

Montar a matriz Jacobiana e calcular o determinante usando a regra ad-bc.
J(u,v)= \begin{vmatrix} 4 & -6v\\[4pt] 2u & -6 \end{vmatrix} =4\cdot(-6)-(-6v)\cdot(2u).
Agora faço as contas passo a passo:
4\cdot(-6)=-24,
(-6v)\cdot(2u)=-12uv,
então
J(u,v)=-24-(-12uv)=-24+12uv.
Posso escrever de forma factorizada:
J(u,v)=12uv-24=12(uv-2).]

Resposta

\;12uv-24=12(uv-2)

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