Em cada caso calcule o determinante Jacobiano da transformação dada. x=4 u-3 v^{2} \quad y=u^{2}-6 v
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o determinante Jacobiano da transformação dada por
x = 4u - 3v^{2},\qquad y = u^{2} - 6v.
Informações relevantes fornecidas:
x(u,v)=4u-3v^{2},
y(u,v)=u^{2}-6v.
A tarefa é encontrar o Jacobiano \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}, ou seja, o determinante da matriz das derivadas parciais de x e y em relação a u e v.
Passo 2
Definição e ideia para a prova (mini-aula): o determinante Jacobiano de uma transformação (u,v)\mapsto(x,y) é a determinant da matriz formada pelas derivadas parciais:
O que isto significa na prática: cada entrada é a taxa de variação de uma das coordenadas x ou y quando eu mudo levemente u ou v, mantendo a outra variável fixa. Na prova você calcula cada derivada parcial tratando a outra variável como constante e depois aplica a regra do determinante ad-bc.]
Passo 3
Calcular \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} e \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}, lembrando que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.
x(u,v)=4u-3v^{2}.
Derivando em relação a u: a derivada de 4u é 4 e a de -3v^{2} em relação a u é 0 (porque v é constante). Logo
\frac{\partial x}{\partial u}=4.
Derivando em relação a v: a derivada de 4u em relação a v é 0 e a de -3v^{2} é -6v. Logo
\frac{\partial x}{\partial v}=-6v.
Passo 4
Calcular \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} e \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}.
y(u,v)=u^{2}-6v.
Derivando em relação a u: a derivada de u^{2} é 2u e a de -6v é 0. Logo
\frac{\partial y}{\partial u}=2u.
Derivando em relação a v: a derivada de u^{2} em relação a v é 0 e a de -6v é -6. Logo
\frac{\partial y}{\partial v}=-6.
Passo 5
Montar a matriz Jacobiana e calcular o determinante usando a regra ad-bc.