Explicando cada parte: \frac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y; a expressão \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^{2}} mede a “inclinação” da curva e a integral soma infinitesimais de comprimento ao longo do intervalo [a,b]. Aqui teremos a=0 e b=2.
Passo 3
Vamos calcular \dfrac{dx}{dy} de forma direta. Usamos que a derivada de e^{y} é e^{y} e a derivada de e^{-y} é -e^{-y}. Assim,
Como \operatorname{cosh} y\geqslant 1 para todo y real (em particular para y\in[0,2]), temos \sqrt{\operatorname{cosh}^{2}y}=\operatorname{cosh} y. Logo o integrando simplifica para \operatorname{cosh} y.
Passo 5
Agora o comprimento é a integral simples
L=\int_{0}^{2}\operatorname{cosh} y\,dy.
Sabemos que uma primitiva de \operatorname{cosh} y é \operatorname{sinh} y, pois \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y. Portanto