Calcule 0 arco da curva x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}, 0 \leqslant y \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento do arco da curva dada por
x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad 0\leqslant y\leqslant 2.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: }x(y)=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},çã
\text{intervalo: }y\in[0,2].
A tarefa é encontrar o comprimento do arco dessa curva entre y=0 e y=2.

Passo 2

A fórmula geral para o comprimento L de uma curva escrita como x=x(y) entre y=a e y=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Explicando cada parte: \frac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y; a expressão \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^{2}} mede a “inclinação” da curva e a integral soma infinitesimais de comprimento ao longo do intervalo [a,b]. Aqui teremos a=0 e b=2.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{dx}{dy} de forma direta. Usamos que a derivada de e^{y} é e^{y} e a derivada de e^{-y} é -e^{-y}. Assim,
\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}\left(\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\right) =\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
É útil conhecer as funções hiperbólicas: definimos
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Portanto, olhando para as fórmulas acima vemos que
x(y)=\operatorname{cosh} y\quad\text{e}\quad \frac{dx}{dy}=\operatorname{sinh} y.

Passo 4

Substituímos \dfrac{dx}{dy}=\operatorname{sinh} y na fórmula do comprimento:
1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}=1+\operatorname{sinh}^{2}y.
Há uma identidade hiperbólica fundamental:
\operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y=1,
que pode ser rearranjada para
1+\operatorname{sinh}^{2}y=\operatorname{cosh}^{2}y.
Assim o integrando fica
\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}y}.
Como \operatorname{cosh} y\geqslant 1 para todo y real (em particular para y\in[0,2]), temos \sqrt{\operatorname{cosh}^{2}y}=\operatorname{cosh} y. Logo o integrando simplifica para \operatorname{cosh} y.

Passo 5

Agora o comprimento é a integral simples
L=\int_{0}^{2}\operatorname{cosh} y\,dy.
Sabemos que uma primitiva de \operatorname{cosh} y é \operatorname{sinh} y, pois \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y. Portanto
L=\operatorname{sinh} y\Big|_{0}^{2}=\operatorname{sinh} 2-\operatorname{sinh} 0.
Como \operatorname{sinh} 0=0, obtemos
L=\operatorname{sinh} 2.
Se quiseres escrever em termos de exponenciais, usa a definição de \operatorname{sinh}:
\operatorname{sinh} 2=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}.

Resposta

\operatorname{sinh} 2=\dfrac{e^{2}-e^{-2}}{2}

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