Em cada caso, dar as equações vetoriais da reta que passa por A e tem a direção do vetor v , nas formas paramétricas e simétricas:
\mathrm{A}=(3,4), \quad \mathrm{v}=(2,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta em \mathbb{R}^2 que passa por A=(3,4) e tem direção dada por \mathbf{v}=(2,1). Vamos usar o conceito de equação vetorial de reta, que depois pode ser traduzida nas formas paramétrica e simétrica.

Passo 2

A equação vetorial geral de uma reta que passa por um ponto \mathbf{a} e tem vetor direção \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t\,\mathbf{v}.
Aqui \mathbf{a}=(3,4) e \mathbf{v}=(2,1), então
\mathbf{r}(t) = (3,4) + t\,(2,1).

Passo 3

Para obter a forma paramétrica, basta decompor \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)). A partir de
( x,y ) = (3,4) + t\,(2,1)
vemos que
\begin{cases} x(t) = 3 + 2t,\\\ y(t) = 4 + t. \end{cases}

Passo 4

Na forma simétrica, isolamos o parâmetro t em cada coordenada e igualamos:
t = \frac{x-3}{2} \quad\text{e}\quad t = \frac{y-4}{1}.
Logo
\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{1}.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (3,4) + t\,(2,1).
Forma paramétrica:
\begin{cases} x = 3 + 2t,\\\ y = 4 + t. \end{cases}
Forma simétrica:
\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{1}.

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