Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de W e decida se W é ou não finitamente gerado:
W=\left\{p(t)=a_{1} t+a_{3} t^{3}+\ldots+a_{99} t^{99}: a_{i} \in \mathbb{R}\right\}, subespaço de P(\mathbb{R}) (conjunto dos polinômios com coeficientes reais).

Passo 1

O enunciado define o subespaço W = \{\,p(t)=a_{1}t + a_{3}t^{3} + \cdots + a_{99}t^{99} : a_{i}\in\mathbb{R}\}
dentro de P(\mathbb{R}), o espaço de todos os polinômios reais. Queremos achar um conjunto de geradores de W e decidir se ele é finitamente gerado. Para isso vamos usar o conceito de base e gerador em espaços vetoriais: um conjunto gera W se todo vetor (polinômio) de W pode ser expresso como combinação linear dos elementos desse conjunto.

Passo 2

Primeiro observamos que todo polinômio em W só tem termos ímpares de grau de 1 até 99. Logo, os monômios
t,\;t^{3},\;t^{5},\;\dots,\;t^{99}
são candidatos naturais para gerar W. De fato, dado
p(t)=a_{1}t + a_{3}t^{3} + \cdots + a_{99}t^{99},
podemos reescrever
p(t) = a_{1}\,t \;+\; a_{3}\,t^{3} \;+\;\cdots+\;a_{99}\,t^{99},
ou seja, p é combinação linear exata dos monômios acima.

Passo 3

Mostramos agora que esse conjunto de monômios gera todo W e que é mínimo (é uma base). Primeiro, geração: qualquer p\in W já foi expressa como combinação dos monômios ímpares. Segundo, independência linear: se
c_{1}t + c_{3}t^{3} + \cdots + c_{99}t^{99} = 0
para todos t, então todos os coeficientes c_{1},c_{3},\dots,c_{99} devem ser zero. Assim os monômios são linearmente independentes.

Passo 4

Concluímos que
\{\,t,\,t^{3},\,t^{5},\,\dots,\,t^{99}\}
é uma base de W. Como essa base tem número finito de elementos — exatamente 50 monômios, pois de 1 até 99 existem 50 números ímpares —, W é um espaço vetorial de dimensão finita e, portanto, finitamente gerado.

Resposta

Um conjunto de geradores de W é
\{\,t,\,t^{3},\,t^{5},\,\dots,\,t^{99}\},
e W é finitamente gerado (dimensão 50).

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