Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de
e decida se
é ou não finitamente gerado:
, subespaço de
(conjunto dos polinômios com coeficientes reais).
Passo 1
O enunciado define o subespaço
dentro de , o espaço de todos os polinômios reais. Queremos achar um conjunto de geradores de
e decidir se ele é finitamente gerado. Para isso vamos usar o conceito de base e gerador em espaços vetoriais: um conjunto gera
se todo vetor (polinômio) de
pode ser expresso como combinação linear dos elementos desse conjunto.
dentro de
Passo 2
Primeiro observamos que todo polinômio em
só tem termos ímpares de grau de 1 até 99. Logo, os monômios
são candidatos naturais para gerar
. De fato, dado
podemos reescrever
ou seja,
é combinação linear exata dos monômios acima.
Passo 3
Mostramos agora que esse conjunto de monômios gera todo
e que é mínimo (é uma base). Primeiro, geração: qualquer
já foi expressa como combinação dos monômios ímpares. Segundo, independência linear: se
para todos
, então todos os coeficientes
devem ser zero. Assim os monômios são linearmente independentes.
Passo 4
Concluímos que
é uma base de
. Como essa base tem número finito de elementos — exatamente 50 monômios, pois de 1 até 99 existem 50 números ímpares —,
é um espaço vetorial de dimensão finita e, portanto, finitamente gerado.
Resposta
Um conjunto de geradores de
é
e
é finitamente gerado (dimensão 50).