Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de W e decida se W é ou não finitamente gerado:
W=\left\{f \in \mathcal{F}: f(x)=a e^{x}+b e^{2 x}+2 a \sin (x)\right., com \, b \in \mathbb{R}\right\}, subespaço de \mathcal{F}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço \displaystyle W = \{f\colon\mathbb R\to\mathbb R \mid f(x) = a\,e^x + b\,e^{2x} + 2a\,\sin(x)\},
onde a,b\in\mathbb R. O conteúdo aqui é mostrar que W é um subespaço gerado por certas funções e verificar se a geração é finita.

Passo 2

Note que qualquer f\in W pode ser reescrito como
f(x) \;=\; a\bigl(e^x + 2\sin(x)\bigr)\;+\;b\,e^{2x}.
Isso mostra que f é combinação linear de duas funções fixas: g_1(x)=e^x+2\sin(x) e g_2(x)=e^{2x}.

Passo 3

Portanto
W \;=\;\mathrm{Span}\{\,g_1,\;g_2\} \;=\;\bigl\{\,\alpha\,g_1 + \beta\,g_2 \mid \alpha,\beta\in\mathbb R\bigr\}.
Isto já fornece um conjunto de geradores finito de W.

Passo 4

Como encontramos dois geradores g_1 e g_2, concluímos que W é finitamente gerado.

Resposta

Um conjunto de geradores de W é
\{\,e^x + 2\sin(x),\;e^{2x}\},
e W é finitamente gerado.

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