Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de W e decida se W é ou não finitamente gerado:
W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right. : Aé simétrica \}, subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para achar um conjunto de geradores do subespaço
W = \{A \in M_{2}(\mathbb{R}) : A \text{ é simétrica}\}éé
e decidir se W é finitamente gerado. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais e geradores (spanning set) em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 2

Uma matriz genérica A\in W é simétrica, logo tem a forma
A = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt] b & c\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}.]

Passo 3

Vamos escrever A como combinação linear de matrizes fixas. Defina
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
A = a\,E_{11} \;+\; b\,S \;+\; c\,E_{22}.]

Passo 4

Como qualquer A\in W se escreve dessa forma, temos
W = \mathrm{span}\{E_{11},\,S,\,E_{22}\}.
Isto mostra que o conjunto \{E_{11},S,E_{22}\} gera W.

Passo 5

O conjunto encontrado tem apenas três matrizes, portanto é finito. Logo W é finitamente gerado.

Resposta

Um conjunto de geradores é
\Bigl\{\,\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\},
e W é finitamente gerado.

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