Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais: W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\}, W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de: W_{4} \cap W_{5}
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de geradores de W_{4}\cap W_{5}, onde W_{4}=\mathrm{span}\{(1,0,0),(1,1,1)\} e W_{5}=\mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.
Para encontrar a interseção, vamos escrever um vetor genérico em cada subespaço e igualá-los.
Passo 2
Um vetor arbitrário de W_{4} é combinação linear dos geradores:
v = a\,(1,0,0) + b\,(1,1,1) = (a+b,\;b,\;b),
onde a,b\in\mathbb{R}.
Passo 3
Um vetor arbitrário de W_{5} é
w = s\,(0,1,0) + t\,(0,0,1) = (0,\;s,\;t),
onde s,t\in\mathbb{R}.
Passo 4
Para v\) pertencer à interseção, deve existir \(a,b,s,t\) tais que
\[(a+b,\;b,\;b) \;=\;(0,\;s,\;t).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\\ b = s,\\\ b = t. \end{cases}
Da segunda e terceira equações vem s=b\] e \(t=b. Da primeira, a=-b. Logo
v = (a+b,\;b,\;b) = (-b+b,\;b,\;b) = (0,\;b,\;b) = b\,(0,1,1).
Passo 5
Concluímos que todo vetor em W_{4}\cap W_{5} é múltiplo de (0,1,1). Portanto a interseção é um subespaço unidimensional gerado por esse vetor.
Resposta
Um conjunto de geradores de W_{4}\cap W_{5} é \{(0,1,1)\}.