Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de W e decida se W é ou não finitamente gerado:
W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right. : A é anti-simétrica \}\, subespaço de \(M_{2}(\mathbb{R}).)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = \{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{T} = -A\},
ou seja, o conjunto das matrizes anti-simétricas 2\times2. Para resolver, vamos usar a caracterização de anti-simetria A^{T}=-A e depois descrever W como span de algum(s) gerador(es).

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}).
A condição A^{T}=-A
\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a & -b\\\\ -c & -d\end{pmatrix}.
Comparando entramos:
  1. a = -a\implies a=0.
  2. d = -d\implies d=0.
  3. c = -b.

Passo 3

Logo toda matriz em W tem a forma
A=\begin{pmatrix}0 & b\\\\ -b & 0\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Isto mostra
W = \Bigl\{b\,E\mid b\in\mathbb{R}\Bigr\}, \quad\text{onde}\quad E=\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Como todo A\in W é um múltiplo escalar de E, temos
W = \mathrm{span}\{E\}.
Portanto um conjunto de geradores de W é \{E\}.

Resposta

Um gerador para W é
E = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
pois
W = \{bE\mid b\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{E\}.
Logo W é finitamente gerado (basta o único vetor E).

Exercícios relacionados