Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região
delimitada pelas curvas
e
. Além disso, precisamos calcular a integral dupla:
onde
.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de integração dupla, mudança de variáveis (provavelmente para coordenadas polares, já que a função envolve
), e entender como determinar os limites de integração a partir do esboço da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. As curvas que delimitam
são:
-
— que é uma parábola aberta para cima. -
— que é uma reta inclinada de 45 graus.
Para encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas, igualamos:
Assim, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando as curvas e os pontos de interseção, percebemos que:
- Para
varia de 0 a 2. - Para cada
nesse intervalo, varia da parábola até a reta .
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
Vamos agora escrever a integral dupla com esses limites:
A função a ser integrada é
. Observando a presença de
, é conveniente fazer uma mudança para coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a expressão da função e a área de integração.
Passo 5
A mudança para coordenadas polares envolve também a alteração do elemento de área
para
. Além disso, precisamos determinar como a região
se transforma em coordenadas polares.
Vamos entender os limites em termos de
e
:
- A reta
corresponde a . - A parábola
em coordenadas polares fica , ou seja, .
O raio
varia de 0 até
, e o ângulo
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, expressamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral dupla é igual a
.