Encontre a série de Taylor de f(x) em uma vizinhança do ponto x_0, escrevendo os primeiros quatro termos da série
f(x) = raiz(x), x0 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Taylor da função ao redor do ponto . Isso significa que vamos precisar usar os conceitos de série de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções de forma polinomial perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Vamos calcular as derivadas necessárias de e avaliá-las em .

Passo 3

Calculando as derivadas:
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em :
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

A série de Taylor de em torno de , com os quatro primeiros termos, é:

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