Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso significa que queremos encontrar a área dessa região
. A região
é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como essas curvas se comportam no plano e encontrar onde elas se intersectam para definir os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que formam a região
:
-
: Essa é a função exponencial. Ela cresce muito rápido conforme aumenta. -
: Essa é a função logarítmica. Ela cresce, mas bem mais lentamente que a exponencial, e só está definida para . -
: Essa é uma reta que desce duzamente pelo plano, interceptando os eixos em (1,0) e (0,1). -
: Outra reta paralela à anterior, mas deslocada para cima.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente onde começa e termina a nossa região
. Vamos resolver os sistemas de equações que aparecem nas interseções:
-
Interseção entre
e : Não dá para resolver algebricamente, então vamos usar aproximações ou gráficos. Aproximadamente, essa interseção ocorre perto de. -
Interseção entre
e : Também vai ficar perto de. -
Interseção entre
e : Por aproximação, isso ocorre perto de. -
Interseção entre
e : Essa interseção será para ummaior que 1.
Passo 4
Com esses pontos de interseção, podemos visualizar que a região
está entre as duas retas
e
, e entre as curvas
e
. Para facilitar a integração, vamos escolher integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Para cada
fixo entre
e
,
varia entre as retas
e
. Resolvendo para
:
Então, os limites para
são de
até
.
Para
, ele varia entre
e
. Mas precisamos determinar os valores de
que correspondem às interseções. Como vimos,
varia de
até
.
Passo 6
Com isso, nossa integral dupla fica:
Integrando primeiro em
:
Passo 7
Agora, basta integrar
em relação a
de 1 a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.