Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{3} \int_{0}^{e-r^{2}} r d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Esboçar o sólido definido pelas desigualdades impostas pelos limites da integral.
  • Calcular a integral iterada \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{e-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
As informações fornecidas são exatamente os limites de integração:
  • \theta varia em \;0\le \theta \le \pi/2\;.
  • r varia em \;0\le r \le 3\;.
  • z varia em \;0\le z \le e-r^{2}\;.

Passo 2

Entendendo o que esses limites significam (aula rápida e prática).
  • Aqui estamos em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).
    • \;r é a distância ao eixo z no plano xy.
    • \theta é o ângulo no plano xy.
    • \;z é a altura usual.
  • O fator r que aparece na integral ( r\,dz\,dr\,d\theta) é o jacobiano da mudança de coordenadas; geometricalmente ele transforma o elemento de volume da forma dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Em palavras: uma “tira” radial de largura dr e ângulo d\theta tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta.
  • Portanto essa integral representa (em princípio) o volume do sólido descrito por: \{(r,\theta,z): 0\le\theta\le\pi/2,\;0\le r\le3,\;0\le z\le e-r^{2}\}.

Passo 3

Observação importante sobre os limites e o esboço do sólido.
  • A superfície superior é a parábola de revolução (paraboloide): \;z=e-r^{2}\;.
  • A superfície inferior é o plano z=0.
  • Para que exista ponto com 0\le z\le e-r^{2} é necessário que e-r^{2}\ge 0, isto é r^{2}\le e \quad\Longrightarrow\quad 0\le r \le \sqrt{e}.
  • Como \sqrt{e}\approx 1{,}6487 e o limite dado para r na integral é 3, percebemos que, geometricamente, para r>\sqrt{e} não há altura positiva z entre 0 e e-r^{2}. Logo o sólido real (aquele cujo volume a integral deveria representar) tem extensão radial máxima \sqrt{e}, não 3.
  • Esboço (como desenhar):
    • No plano xy, desenhar o primeiro quadrante (pois \theta vai de 0 a \pi/2) e marcar a circunferência de raio \sqrt{e}. O sólido ocupa a região radial de r=0 até r=\sqrt{e} nesse primeiro quadrante.
    • Em cada círculo de raio r a altura é z=e-r^{2}; no centro ( r=0) a altura é z=e, e a altura cai até z=0 quando r=\sqrt{e}. Assim é uma “tigela” de parábola cortada pelo plano z=0, apenas no primeiro quadrante do disco de raio \sqrt{e}.
  • Conclusão prática: para calcular o volume devemos efetivamente usar 0\le r\le \sqrt{e} (ou, equivalentemente, notar que a contribuição para volume para r>\sqrt{e} é nula se interpretarmos os limites como descrição do sólido).

Passo 4

Integral interna (integração em z).
  • Começamos integrando em z, porque o integrando é r e o limite em z é simples: \int_{0}^{e-r^{2}} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{e-r^{2}} = r\bigl(e-r^{2}\bigr).
  • Então a integral tripla reduz-se a \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} r\bigl(e-r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.
  • Lembrete: aqui já aplicamos a observação geométrica do passo anterior e, para representar o sólido corretamente, iremos restringir o intervalo de r a [0,\sqrt{e}]. Assim substituímos o limite superior 3 por \sqrt{e} ao calcular o volume do sólido indicado pelos limites de z.

Passo 5

Integração em r.
  • Expandimos e integramos termo a termo: r\bigl(e-r^{2}\bigr)= e r - r^{3}.
  • Calcule a primitiva: \int_{0}^{\sqrt{e}} \bigl(e r - r^{3}\bigr)\,dr = e\int_{0}^{\sqrt{e}} r\,dr - \int_{0}^{\sqrt{e}} r^{3}\,dr.
  • Cada integral é simples: \int r\,dr = \tfrac{1}{2}r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \tfrac{1}{4}r^{4}.
  • Avaliando entre 0 e \sqrt{e}: e\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(\sqrt{e}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}\bigl(\sqrt{e}\bigr)^{4} = e\cdot \tfrac{1}{2} e - \tfrac{1}{4} e^{2} = \tfrac{e^{2}}{2} - \tfrac{e^{2}}{4} = \tfrac{e^{2}}{4}.

Passo 6

Integração em \theta e resultado final.
  • A integral em \theta é apenas multiplicar pelo comprimento do intervalo [0,\pi/2]: \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • Multiplicando: \frac{\pi}{2}\cdot \frac{e^{2}}{4} = \frac{\pi e^{2}}{8}.
  • Interpretação final: esse é o volume do sólido no primeiro quadrante, sob o paraboloide z=e-r^{2} e acima do plano z=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi e^{2}}{8}

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