Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Esboçar o sólido definido pelas desigualdades impostas pelos limites da integral.
- Calcular a integral iterada
.
As informações fornecidas são exatamente os limites de integração:
-
varia em . -
varia em . -
varia em .
Passo 2
Entendendo o que esses limites significam (aula rápida e prática).
- Aqui estamos em coordenadas cilíndricas
. -
é a distância ao eixo no plano . -
é o ângulo no plano . -
é a altura usual.
-
- O fator
que aparece na integral ( ) é o jacobiano da mudança de coordenadas; geometricalmente ele transforma o elemento de volume da forma . Em palavras: uma “tira” radial de largura e ângulo tem área aproximadamente . - Portanto essa integral representa (em princípio) o volume do sólido descrito por:
Passo 3
Observação importante sobre os limites e o esboço do sólido.
- A superfície superior é a parábola de revolução (paraboloide):
- A superfície inferior é o plano
. - Para que exista ponto com
é necessário que , isto é - Como
e o limite dado para na integral é , percebemos que, geometricamente, para não há altura positiva entre e . Logo o sólido real (aquele cujo volume a integral deveria representar) tem extensão radial máxima , não . - Esboço (como desenhar):
- No plano
, desenhar o primeiro quadrante (pois vai de a ) e marcar a circunferência de raio . O sólido ocupa a região radial de até nesse primeiro quadrante. - Em cada círculo de raio
a altura é ; no centro ( ) a altura é , e a altura cai até quando . Assim é uma “tigela” de parábola cortada pelo plano , apenas no primeiro quadrante do disco de raio .
- No plano
- Conclusão prática: para calcular o volume devemos efetivamente usar
(ou, equivalentemente, notar que a contribuição para volume para é nula se interpretarmos os limites como descrição do sólido).
Passo 4
Integral interna (integração em
).
- Começamos integrando em
, porque o integrando é e o limite em é simples: - Então a integral tripla reduz-se a
- Lembrete: aqui já aplicamos a observação geométrica do passo anterior e, para representar o sólido corretamente, iremos restringir o intervalo de
a . Assim substituímos o limite superior por ao calcular o volume do sólido indicado pelos limites de .
Passo 5
Integração em
.
- Expandimos e integramos termo a termo:
- Calcule a primitiva:
- Cada integral é simples:
- Avaliando entre
e :
Passo 6
Integração em
e resultado final.
- A integral em
é apenas multiplicar pelo comprimento do intervalo : - Multiplicando:
- Interpretação final: esse é o volume do sólido no primeiro quadrante, sob o paraboloide
e acima do plano .