Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}=2 x, z=x e z=2 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}=2x, z=x e z=2x.
Informações dadas:
  • A superfície x^{2}+y^{2}=2x determina uma curva no plano xy cuja projeção vertical (isto é, para todas as alturas z) limita a região D no plano xy.
  • As superfícies z=x e z=2x são dois planos paralelos no espaço, e o sólido é o conjunto de pontos entre esses dois planos sobre a região D.
  • Precisamos calcular o volume do sólido, isto é o volume entre z=x (fundo) e z=2x (topo) sobre a região D determinada por x^{2}+y^{2}\le 2x.

Passo 2

Ideia para computar o volume (fórmula usada):
  • Se um sólido está entre as superfícies z=f(x,y) (topo) e z=g(x,y) (fundo) sobre uma região D no plano xy, então o volume é
V=\iint_{D} \bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui f(x,y)=2x e g(x,y)=x, portanto a altura em cada ponto (x,y) é 2x-x=x. Assim
V=\iint_{D} x\,dA.
Explicando: dA é um elemento de área no plano xy (pequeno retângulo), e a integral dupla soma, sobre toda a projeção D, a altura x multiplicada por essas pequenas áreas — dando o volume total.

Passo 3

Descrever a região D dada por x^{2}+y^{2}\le 2x.
  • Reescrevendo a equação da fronteira:
x^{2}+y^{2}=2x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Isso é o círculo de centro (1,0) e raio 1. Logo D é o disco fechado centrado em (1,0) de raio 1.
  • Para integrar, uma escolha conveniente é usar coordenadas polares usuais (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Na equação x^{2}+y^{2}=2x em polares:
r^{2}=2r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=2\cos\theta,
(lembrando que r\ge 0, então a solução relevante é r=2\cos\theta com \cos\theta\ge 0). Portanto a região D em coordenadas polares é descrita por
0\le r\le 2\cos\theta,\qquad -\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Explicação do intervalo de \theta: como r\ge0 e r=2\cos\theta, precisa-se de \cos\theta\ge0, o que ocorre para \theta entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Relembrando coordenadas polares e o jacobiano (a “área” de um pequeno elemento):
  • Em coordenadas polares, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • O elemento de área se transforma como dA = r\,dr\,d\theta. Explicação: o retângulo (dr,d\theta) em polares tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
Usaremos isso para transformar a integral dupla \iint_{D} x\,dA para coordenadas polares.

Passo 5

Montar a integral em polares.
  • Substituindo x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta, a função a integrar vira x\,dA = r\cos\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
  • Com os limites de r e \theta encontrados, a integral do volume é
V=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2\cos\theta} r^{2}\cos\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

Avaliar a integral em r (integração interna).
  • A integral interna trata \cos\theta como constante (é variável apenas em \theta), então
\int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\cos\theta \,dr = \cos\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr = \cos\theta \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\cos\theta} = \cos\theta \cdot \frac{(2\cos\theta)^{3}}{3}.
  • Simplificando:
\cos\theta \cdot \frac{8\cos^{3}\theta}{3} = \frac{8}{3}\cos^{4}\theta.
Portanto a integral fica
V=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\cos^{4}\theta \,d\theta.

Passo 7

Explorar a simetria e reduzir o integral em \theta.
  • A função \cos^{4}\theta é par (ou seja, \cos^{4}(-\theta)=\cos^{4}\theta), então a integral sobre [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] vale o dobro da integral sobre [0,\tfrac{\pi}{2}]. Assim
V=\frac{8}{3}\cdot 2 \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta \,d\theta = \frac{16}{3}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta \,d\theta.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta \,d\theta usando identidades trigonométricas.
  • Primeiro usar \cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Então
\cos^{4}\theta = \bigl(\cos^{2}\theta\bigr)^{2} = \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta + \cos^{2}2\theta\bigr).
  • Reescrever \cos^{2}2\theta novamente com a identidade de ângulo duplo:
\cos^{2}2\theta = \frac{1+\cos 4\theta}{2}.
  • Substituindo de volta:
\cos^{4}\theta = \frac{1}{4}\left(1+2\cos 2\theta + \frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta.
  • Integrando termo a termo de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta \,d\theta = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{8}\cos 4\theta\right)\,d\theta.
  • As integrais das parcelas \cos 2\theta e \cos 4\theta em [0,\tfrac{\pi}{2}] são zero porque são funções senoidais inteiras em meio período: de fato
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 2\theta \,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{2}(\sin\pi - \sin 0)=0,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos 4\theta \,d\theta = \left[\tfrac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{4}(\sin 2\pi - \sin 0)=0.
  • Sobra apenas a constante:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^{4}\theta \,d\theta = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{3}{8}\,d\theta = \frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.

Passo 9

Juntar tudo e simplificar para obter o volume.
  • Substituindo o valor encontrado no Passo 7:
V=\frac{16}{3}\cdot \frac{3\pi}{16} = \pi.
  • Portanto o volume do sólido é \pi (unidades cúbicas, conforme unidades do sistema coordenado usado).

Resposta

\pi

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