Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
.
Informações dadas:
- A superfície
determina uma curva no plano cuja projeção vertical (isto é, para todas as alturas ) limita a região no plano . - As superfícies
e são dois planos paralelos no espaço, e o sólido é o conjunto de pontos entre esses dois planos sobre a região . - Precisamos calcular o volume do sólido, isto é o volume entre
(fundo) e (topo) sobre a região determinada por .
Passo 2
Ideia para computar o volume (fórmula usada):
- Se um sólido está entre as superfícies
(topo) e (fundo) sobre uma região no plano , então o volume é
Aqui
e
, portanto a altura em cada ponto
é
. Assim
Explicando:
é um elemento de área no plano
(pequeno retângulo), e a integral dupla soma, sobre toda a projeção
, a altura
multiplicada por essas pequenas áreas — dando o volume total.
Passo 3
Descrever a região
dada por
.
- Reescrevendo a equação da fronteira:
Isso é o círculo de centro
e raio
. Logo
é o disco fechado centrado em
de raio
.
- Para integrar, uma escolha conveniente é usar coordenadas polares usuais
com , . Na equação em polares:
(lembrando que
, então a solução relevante é
com
). Portanto a região
em coordenadas polares é descrita por
Explicação do intervalo de
: como
e
, precisa-se de
, o que ocorre para
entre
e
.
Passo 4
Relembrando coordenadas polares e o jacobiano (a “área” de um pequeno elemento):
- Em coordenadas polares,
, . - O elemento de área se transforma como
. Explicação: o retângulo em polares tem área aproximada .
Usaremos isso para transformar a integral dupla
para coordenadas polares.
Passo 5
Montar a integral em polares.
-
Substituindo
e , a função a integrar vira . -
Com os limites de
e encontrados, a integral do volume é
Passo 6
Avaliar a integral em
(integração interna).
- A integral interna trata
como constante (é variável apenas em ), então
- Simplificando:
Portanto a integral fica
Passo 7
Explorar a simetria e reduzir o integral em
.
- A função
é par (ou seja, ), então a integral sobre vale o dobro da integral sobre . Assim
Passo 8
Calcular
usando identidades trigonométricas.
- Primeiro usar
. Então
- Reescrever
novamente com a identidade de ângulo duplo:
- Substituindo de volta:
- Integrando termo a termo de
a :
- As integrais das parcelas
e em são zero porque são funções senoidais inteiras em meio período: de fato
- Sobra apenas a constante:
Passo 9
Juntar tudo e simplificar para obter o volume.
- Substituindo o valor encontrado no Passo 7:
- Portanto o volume do sólido é
(unidades cúbicas, conforme unidades do sistema coordenado usado).