Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se f(x)=\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}, então

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}
e pede duas coisas: (1) escrever a função na forma mais simples possível; (2) determinar o domínio da função resultante. Vou listar explicitamente o que foi dado: a expressão algébrica acima e nenhuma restrição adicional. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Queremos simplificar a fração \dfrac{1-x^{2}}{x^{2}+1}. Uma técnica útil é reescrever o numerador de modo a separar uma parte idêntica ao denominador e uma parte residual. Primeiro note que
1-x^{2}=-(x^{2}-1).
Agora escrevo x^{2}-1 como (x^{2}+1)-2; isso é simplesmente adicionar e subtrair 2:
x^{2}-1 = (x^{2}+1)-2.
Substituindo na expressão inicial:
\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1} = -\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} = -\frac{(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1}.
Agora divido o numerador pelo denominador termo a termo:
-\frac{(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1} = -\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} - \frac{2}{x^{2}+1}\right).
Como \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}=1 (desde que o denominador não seja zero), obtemos
-\left(1 - \frac{2}{x^{2}+1}\right) = -1 + \frac{2}{x^{2}+1}.
Portanto a forma mais simples é
f(x)=-1+\frac{2}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora determinamos o domínio. O único cuidado com domínio de uma função racional é evitar valores de x que anulem o denominador. O denominador aqui é x^{2}+1. Para x real temos x^{2}\ge 0, logo
x^{2}+1 \ge 1>0
para todo x\in\mathbb{R}. Em particular x^{2}+1 nunca é zero para x real. Portanto não existe restrição: todos os números reais são permitidos.

Passo 4

Verificação numérica rápida (apenas para ganhar confiança): para x=0,
f(0)=\frac{1-0}{0+1}=1
e, pela forma simplificada,
-1+\frac{2}{0^{2}+1}=-1+2=1,
concorda. Para x=1,
f(1)=\frac{1-1}{1+1}=0,
e pela forma simplificada -1+\dfrac{2}{2}=-1+1=0. Tudo consistente.

Resposta

f(x)=-1+\dfrac{2}{x^{2}+1}
\text{Domínio: }(-\infty,\infty)í

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