Em cada caso, escreva a função pedida na forma mais simples e dê o domínio da função resultante
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) escrever a função na forma mais simples possível; (2) determinar o domínio da função resultante. Vou listar explicitamente o que foi dado: a expressão algébrica acima e nenhuma restrição adicional. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Queremos simplificar a fração
. Uma técnica útil é reescrever o numerador de modo a separar uma parte idêntica ao denominador e uma parte residual. Primeiro note que
Agora escrevo
como
; isso é simplesmente adicionar e subtrair
:
Substituindo na expressão inicial:
Agora divido o numerador pelo denominador termo a termo:
Como
(desde que o denominador não seja zero), obtemos
Portanto a forma mais simples é
Passo 3
Agora determinamos o domínio. O único cuidado com domínio de uma função racional é evitar valores de
que anulem o denominador. O denominador aqui é
. Para
real temos
, logo
para todo
. Em particular
nunca é zero para
real. Portanto não existe restrição: todos os números reais são permitidos.
Passo 4
Verificação numérica rápida (apenas para ganhar confiança): para
,
e, pela forma simplificada,
concorda. Para
,
e pela forma simplificada
. Tudo consistente.