Pela lei do resfriamento de Newton, a temperatura de um corpo em um determinado instante de tempo
é descrita pela função
, onde
é a temperatura do meio,
é um número irracional conhecido como número de Euler,
e
são constantes a serem determinadas.
Suponha que, após ter sido coado, a temperatura do café é de
, após 1 minuto a temperatura do café é de
e que este café será mantido em um ambiente climatizado cuja temperatura é constante e igual a
. Explicitando todos os seus cálculos, resolva os itens dados a seguir.
(a) Determine a função que representa o resfriamento do café;
(b) Sabe-se que para um café ser ingerido sem queimar a boca de uma pessoa, é necessário que a temperatura do mesmo seja de no máximo
. Determine quanto tempo levará para que este café possa ser ingerido.
Suponha que, após ter sido coado, a temperatura do café é de
(a) Determine a função que representa o resfriamento do café;
(b) Sabe-se que para um café ser ingerido sem queimar a boca de uma pessoa, é necessário que a temperatura do mesmo seja de no máximo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
- A lei do resfriamento de Newton descreve a temperatura por
. - Dados fornecidos:
- Temperatura do café logo após ser coado (tempo
): . - Temperatura após
minuto: . - Temperatura do meio (ambiente):
.
- Temperatura do café logo após ser coado (tempo
- O enunciado pede:
(a) Determinar a funçãoque representa o resfriamento do café (ou seja, encontrar e ).
(b) Determinar o tempo necessário para que(ou seja, quando o café poderá ser ingerido sem queimar a boca).
Passo 2
Entendendo a forma geral e o que representam as constantes (explicação didática).
- A função
tem: -
em minutos (tempo contado desde , quando o café está a ). -
é a temperatura constante do meio (aqui ). -
é um parâmetro que ajusta a diferença inicial entre a temperatura do corpo e a do meio. -
é a constante que determina a taxa de resfriamento: tipicamente para resfriamento (pois então decai com ).
-
- Como regra prática: aplicar as condições iniciais na fórmula para obter equações que permitam encontrar
e .
Passo 3
Usar a condição em
para encontrar
.
- Avaliando
em :
- Sabemos que
e , logo:
- Isolando
:
- Conclusão parcial:
. Isso significa que inicialmente a diferença entre a temperatura do café e do ambiente é .
Passo 4
Usar a condição em
para encontrar
.
- A condição
dá:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Dividindo por
:
- Agora aplicamos o logaritmo natural para isolar
. Lembrete: e é negativo porque .
- Aproximação numérica (para ter ideia do valor):
Passo 5
Escrever a função
final, em forma exata e numa forma mais tratável.
- Substituindo
, e em , obtemos a forma exata:
- Usando a propriedade
, podemos escrever de forma mais simples:
- Comentário interpretativo: como
, a potência decai com , e tende para quando , o que faz sentido fisicamente.
Passo 6
Determinar o tempo até
(resolvendo a equação para
).
- Igualando
a :
- Subtraindo
:
- Dividindo por
:
- Aplicando
nos dois lados:
- Isolando
:
- Lembrando que
, substituímos:
- Avaliando numericamente (aproximações):
- Convertendo a parte decimal em segundos:
minutos . - Portanto, o café atinge
após cerca de minutos e segundos.
Resposta
(a)
(b) (aproximadamente
minutos e
segundos).
(b)