Pela lei do resfriamento de Newton, a temperatura de um corpo em um determinado instante de tempo t é descrita pela função f(t)=t_{m}+c e^{k t}, onde t_{m} é a temperatura do meio, e é um número irracional conhecido como número de Euler, c e k são constantes a serem determinadas.
Suponha que, após ter sido coado, a temperatura do café é de 90^{\circ} \mathrm{C}, após 1 minuto a temperatura do café é de 80^{\circ} C e que este café será mantido em um ambiente climatizado cuja temperatura é constante e igual a 20^{\circ} C. Explicitando todos os seus cálculos, resolva os itens dados a seguir.
(a) Determine a função que representa o resfriamento do café;
(b) Sabe-se que para um café ser ingerido sem queimar a boca de uma pessoa, é necessário que a temperatura do mesmo seja de no máximo 60^{\circ} \mathrm{C}. Determine quanto tempo levará para que este café possa ser ingerido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os números do enunciado).
  • A lei do resfriamento de Newton descreve a temperatura por f(t)=t_{m}+c e^{k t}.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do café logo após ser coado (tempo t=0): f(0)=90^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura após 1 minuto: f(1)=80^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do meio (ambiente): t_{m}=20^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar a função f(t) que representa o resfriamento do café (ou seja, encontrar c e k).
    (b) Determinar o tempo necessário para que f(t)\le 60^\circ\mathrm{C} (ou seja, quando o café poderá ser ingerido sem queimar a boca).

Passo 2

Entendendo a forma geral e o que representam as constantes (explicação didática).
  • A função f(t)=t_{m}+c e^{k t} tem:
    • t em minutos (tempo contado desde t=0, quando o café está a 90^\circ\mathrm{C}).
    • t_{m} é a temperatura constante do meio (aqui 20^\circ\mathrm{C}).
    • c é um parâmetro que ajusta a diferença inicial entre a temperatura do corpo e a do meio.
    • k é a constante que determina a taxa de resfriamento: tipicamente k<0 para resfriamento (pois então e^{k t} decai com t).
  • Como regra prática: aplicar as condições iniciais na fórmula para obter equações que permitam encontrar c e k.

Passo 3

Usar a condição em t=0 para encontrar c.
  • Avaliando f em t=0:
f(0)=t_{m}+c e^{k\cdot 0}=t_{m}+c\cdot 1=t_{m}+c.
  • Sabemos que f(0)=90^\circ\mathrm{C} e t_{m}=20^\circ\mathrm{C}, logo:
20+c=90.
  • Isolando c:
c=90-20=70.
  • Conclusão parcial: c=70. Isso significa que inicialmente a diferença entre a temperatura do café e do ambiente é 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Usar a condição em t=1 para encontrar k.
  • A condição f(1)=80^\circ\mathrm{C} dá:
f(1)=t_{m}+c e^{k\cdot 1}=20+70 e^{k}=80.
  • Subtraindo 20 de ambos os lados:
70 e^{k}=60.
  • Dividindo por 70:
e^{k}=\frac{60}{70}=\frac{6}{7}.
  • Agora aplicamos o logaritmo natural para isolar k. Lembrete: \ln(e^{k})=k e \ln\left(\dfrac{6}{7}\right) é negativo porque \dfrac{6}{7}<1.
k=\ln\!\left(\frac{6}{7}\right).
  • Aproximação numérica (para ter ideia do valor):
k\approx\ln(0,857142\ldots)\approx -0,15415.

Passo 5

Escrever a função f(t) final, em forma exata e numa forma mais tratável.
  • Substituindo t_{m}=20, c=70 e k=\ln\!\left(\dfrac{6}{7}\right) em f(t)=t_{m}+c e^{k t}, obtemos a forma exata:
f(t)=20+70 e^{\ln\!\left(\tfrac{6}{7}\right) t}.
  • Usando a propriedade e^{\ln(a)\,t}=(e^{\ln a})^{t}=a^{t}, podemos escrever de forma mais simples:
f(t)=20+70\left(\frac{6}{7}\right)^{t}.
  • Comentário interpretativo: como 0<\tfrac{6}{7}<1, a potência \left(\tfrac{6}{7}\right)^{t} decai com t, e f(t) tende para 20^\circ\mathrm{C} quando t\to\infty, o que faz sentido fisicamente.

Passo 6

Determinar o tempo até f(t)=60^\circ\mathrm{C} (resolvendo a equação para t).
  • Igualando f(t) a 60^\circ\mathrm{C}:
20+70 e^{k t}=60.
  • Subtraindo 20:
70 e^{k t}=40.
  • Dividindo por 70:
e^{k t}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}.
  • Aplicando \ln nos dois lados:
k t=\ln\!\left(\frac{4}{7}\right).
  • Isolando t:
t=\frac{\ln\!\left(\dfrac{4}{7}\right)}{k}.
  • Lembrando que k=\ln\!\left(\dfrac{6}{7}\right), substituímos:
t=\frac{\ln\!\left(\dfrac{4}{7}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{6}{7}\right)}.
  • Avaliando numericamente (aproximações):
\ln\!\left(\frac{4}{7}\right)\approx\ln(0,5714286)\approx-0,55962,
\ln\!\left(\frac{6}{7}\right)\approx-0,15415,
t\approx\frac{-0,55962}{-0,15415}\approx 3,631.
  • Convertendo a parte decimal em segundos: 0,631 minutos =0,631\times 60\\ \text{s}\approx 37,9\\ \text{s}.
  • Portanto, o café atinge 60^\circ\mathrm{C} após cerca de 3 minutos e 38 segundos.

Resposta

(a) f(t)=20+70 e^{\ln\!\left(\tfrac{6}{7}\right) t}=20+70\left(\dfrac{6}{7}\right)^{t}.
(b) t=\dfrac{\ln\!\left(\tfrac{4}{7}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{6}{7}\right)}\approx 3,631\\ \text{minutos} (aproximadamente 3 minutos e 38 segundos).

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