Em cada caso faça o que se pede.
Calcule a integral tripla \iiint_{T} y z d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 2-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T} y z \, dV
onde a região T é dada por
a restrição vertical em y: 0 \leq y \leq 2 - x^{2} - z^{2},
a projeção no plano xz: x^{2}+z^{2} \leq 1.
Ou seja:
Para cada ponto (x,z) no disco de raio 1 no plano xz, a coordenada y varia de 0 até 2-x^{2}-z^{2}.
O que se pede é o valor numérico da integral tripla \iiint_{T} y z\, dV.
Passo 2
Visão geral do plano de ataque (sem pular etapas): a região T tem uma projeção circular no plano xz (disco de raio 1), e a altura em y depende apenas de x^{2}+z^{2}. Isso sugere trocar para coordenadas polares no plano xz — isto é, usar variáveis (r,\theta) para representar (x,z) — e manter y como terceira variável. Vou fazer isso passo a passo e explicar cada coisa com calma.
Passo 3
Definição da troca de variáveis e significado das variáveis:
Definir
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta o ângulo contado a partir do eixo x até o eixo z (sentido anti-horário). A coordenada y permanece y.
Aqui \;r\; é a distância do ponto (x,z) à origem no plano xz e \;\theta\; indica a direção angular nesse plano.
A condição x^{2}+z^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1, ou seja 0\le r\le 1.
A condição em y fica 0\le y\le 2-r^{2} (porque x^{2}+z^{2}=r^{2}).
Passo 4
Jacobeano (elemento de volume) — por que aparece o fator r:
Quando parametrizamos o plano xz por (r,\theta), o elemento de área no plano xz é r\,dr\,d\theta. Isso vem da geometria: um disco de espessura dr e arco r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta.
Como y é independente dessa parametrização, o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dy.
Passo 5
Expressar o integrando na nova parametrização:
O integrando é y z. Como z = r\sin\theta, temos
y z = y\cdot (r\sin\theta).
Multiplicando pelo jacobeano, o integrando completo em (r,\theta,y) é
y\cdot (r\sin\theta)\cdot r = y\,r^{2}\sin\theta.
Passo 6
Escrever a integral nas novas variáveis com os limites correspondentes:
Os limites são \theta de 0 a 2\pi, r de 0 a 1 e y de 0 a 2-r^{2}. Portanto
\iiint_{T} y z\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{y=0}^{2-r^{2}} y\,r^{2}\sin\theta \; dy\; dr\; d\theta.
Passo 7
Integrar primeiro em y (é a opção mais direta aqui) e desenvolver calmamente as contas:
Calcular a primitiva em y:
\int_{0}^{2-r^{2}} y\, dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{0}^{2-r^{2}} = \frac{1}{2}\,(2-r^{2})^{2}.
Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{T} y z\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}\,r^{2}(2-r^{2})^{2}\sin\theta \; dr\; d\theta.
Passo 8
Separação das variáveis e observação-chave:
Note que o integrando agora é produto de uma função de r por \sin\theta. Ou seja,
Assim a integração em \theta pode ser feita separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta \; d\theta = 0,
pois o seno completa um período inteiro em [0,2\pi] e suas áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 9
Conclusão lógica sem pular etapas:
Como o fator angular \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta é zero, o produto com qualquer função de r integrado sobre r\in[0,1] também dá zero. Portanto a integral tripla é zero.
Observação alternativa (intuição por simetria, muito útil em provas):
A região T é simétrica em relação à reflexão z\mapsto -z (para cada ponto (x,y,z)\in T existe (x,y,-z)\in T). O integrando y z é uma função ímpar em z (troca de sinal quando z vira -z), enquanto y e a região são invariantes nessa reflexão. Logo os contributos de pares de pontos simétricos se cancelam — dando integral zero. Essa é uma maneira rápida de ver o resultado sem calcular toda a integral.