Em cada caso faça o que se pede.
Calcule \iiint_{W} x^{2} y d V onde W é a região limitada por 0 \leq z \leq 4-x^{2}-y^{2} e x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral tripla
\iiint_{W} x^{2}y\,dV
onde W é a região limitada por
0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2} \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}\leq 4.
Informações dadas:
  • A altura em z vai de z=0 até a superfície superior z=4-x^{2}-y^{2}.
  • A projeção de W no plano xy é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\} (raio 2).
    A tarefa é avaliar a integral tripla acima sobre essa região.

Passo 2

Estratégia inicial (por que integrar em z primeiro): a função integrando x^{2}y não depende de z. Sempre que o integrando não depende de uma variável, é conveniente integrar em relação a essa variável primeiro, porque isso apenas multiplica pelo comprimento do intervalo nessa direção. Assim podemos reduzir a integral tripla para uma integral dupla sobre o disco D:
\iiint_{W} x^{2}y\,dV = \iint_{D}\Bigl(\int_{z=0}^{z=4-x^{2}-y^{2}} x^{2}y\,dz\Bigr)\,dA.
Explicando a fórmula: para cada ponto (x,y) no disco D a coordenada z varia de 0 a 4-x^{2}-y^{2}, então somamos (integramos) x^{2}y ao longo de z e depois somamos sobre D.

Passo 3

Fazer a integral em z:
\int_{0}^{4-x^{2}-y^{2}} x^{2}y\,dz = x^{2}y\bigl[ z \bigr]_{0}^{4-x^{2}-y^{2}} = x^{2}y\,(4 - x^{2} - y^{2}).
Portanto a integral original virou
\iiint_{W} x^{2}y\,dV = \iint_{D} x^{2}y\,(4 - x^{2} - y^{2})\,dA.

Passo 4

Mudança para coordenadas polares (motivo e regras): a região D é um disco centrado na origem, então coordenadas polares tornam a integral mais simples. Na mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e a área infinitesimal transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Os limites ficam 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi. Lembrete do jacobiano: o fator r aparece porque a área elemental em polares equivale a um setor circular de raio r.

Passo 5

Expressar o integrando em polares. Primeiro escrever cada peça:
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)= r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta,
e
4 - x^{2} - y^{2} = 4 - r^{2}.
Multiplicando e lembrando de dA=r\,dr\,d\theta, obtemos o integrando total
x^{2}y\,(4 - x^{2} - y^{2})\,dA = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta\cdot(4-r^{2})\cdot r\,dr\,d\theta = r^{4}(4-r^{2})\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Logo a integral é
\iiint_{W} x^{2}y\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r^{4}(4-r^{2})\cos^{2}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral angular (e usar simetria). Observe que a parte em \theta é \cos^{2}\theta\sin\theta. Podemos calcular
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
Fazendo a substituição u=\cos\theta, tem-se du=-\sin\theta\,d\theta, assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta = -\int_{u=\cos 0}^{u=\cos 2\pi} u^{2}\,du = -\int_{1}^{1} u^{2}\,du = 0.
Como o fator radial r^{4}(4-r^{2}) não depende de \theta, a integral dupla separa em produto da integral radial pela integral angular; como a integral angular é zero, toda a integral vale zero.
Alternativa (argumento de simetria, mais intuitivo): a função integrando original reduzida na base é x^{2}y(4-x^{2}-y^{2}). Para cada ponto (x,y) no disco existe o ponto refletido (x,-y) também no disco; nesses pontos os valores de x^{2}y(4-x^{2}-y^{2}) têm sinais opostos (porque mudando y para -y troca o sinal do fator y e os outros fatores permanecem iguais), então as contribuições se cancelam. Logo a integral sobre todo o disco é zero.

Passo 7

Conclusão: pela avaliação da integral angular (ou pelo argumento de simetria) a integral tripla vale 0.

Resposta

0

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