Em cada caso faça o que se pede.
Calcule
onde
é a região limitada por
e
.
Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral tripla
onde
é a região limitada por
Informações dadas:
- A altura em
vai de até a superfície superior . - A projeção de
no plano é o disco (raio ).
A tarefa é avaliar a integral tripla acima sobre essa região.
Passo 2
Estratégia inicial (por que integrar em
primeiro): a função integrando
não depende de
. Sempre que o integrando não depende de uma variável, é conveniente integrar em relação a essa variável primeiro, porque isso apenas multiplica pelo comprimento do intervalo nessa direção. Assim podemos reduzir a integral tripla para uma integral dupla sobre o disco
:
Explicando a fórmula: para cada ponto
no disco
a coordenada
varia de
a
, então somamos (integramos)
ao longo de
e depois somamos sobre
.
Passo 3
Fazer a integral em
:
Portanto a integral original virou
Passo 4
Mudança para coordenadas polares (motivo e regras): a região
é um disco centrado na origem, então coordenadas polares tornam a integral mais simples. Na mudança:
e a área infinitesimal transforma-se como
Os limites ficam
e
. Lembrete do jacobiano: o fator
aparece porque a área elemental em polares equivale a um setor circular de raio
.
Passo 5
Expressar o integrando em polares. Primeiro escrever cada peça:
e
Multiplicando e lembrando de
, obtemos o integrando total
Logo a integral é
Passo 6
Calcular a integral angular (e usar simetria). Observe que a parte em
é
. Podemos calcular
Fazendo a substituição
, tem-se
, assim
Como o fator radial
não depende de
, a integral dupla separa em produto da integral radial pela integral angular; como a integral angular é zero, toda a integral vale zero.
Alternativa (argumento de simetria, mais intuitivo): a função integrando original reduzida na base é
. Para cada ponto
no disco existe o ponto refletido
também no disco; nesses pontos os valores de
têm sinais opostos (porque mudando
para
troca o sinal do fator
e os outros fatores permanecem iguais), então as contribuições se cancelam. Logo a integral sobre todo o disco é zero.
Passo 7
Conclusão: pela avaliação da integral angular (ou pelo argumento de simetria) a integral tripla vale
.