Em cada caso faça o que se pede.
Determine \iiint_{W} z d V onde W é a região limitada por 0 \leq z \leq 1-x^{2}-y^{2} e x^{2}+y^{2} \leq 1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A região W é descrita por duas condições:
Em altura: 0 \leq z \leq 1 - x^{2} - y^{2}.
No plano xy: x^{2}+y^{2} \leq 1.
O que se pede: calcular o integral triplo\iiint_{W} z \, dV.
Passo 2
Entendendo o que significa esse integral e a forma da região.
A integral \iiint_{W} z \, dV soma o valor da função z em cada ponto do sólido W, multiplicado pelo volume elementar dV.
A região em xy é o disco unitário \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Para cada ponto (x,y) do disco, z varia de 0 até 1-x^{2}-y^{2}. Geometricamente, W é o sólido abaixo do paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e acima do plano z=0, recortado pelo cilindro vertical x^{2}+y^{2}=1.
Passo 3
Escolha das coordenadas e expressão do elemento de volume.
Para regiões com simetria circular como esta, é muito conveniente usar coordenadas polares no plano xy. Nas coordenadas polares:x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta o ângulo.
O elemento de área no plano xy torna-se dA = r\,dr\,d\theta. Para o elemento de volume quando integramos sobre z também, usamos dV = dz\,dA = r\,dz\,dr\,d\theta.
A função integranda z permanece z.
Agora os limites:
\theta varia de 0 a 2\pi para cobrir todo o disco.
r varia de 0 a 1 (pois x^{2}+y^{2}\le 1 vira r^{2}\le 1).
Para dado r, z varia de 0 até 1-r^{2} (peguei isso da condição 0\le z\le 1-x^{2}-y^{2} e substituí x^{2}+y^{2}=r^{2}).
Portanto o integral fica\iiint_{W} z\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{1-r^{2}} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 4
Integração em z (primeiro passo do cálculo).
Vamos integrar em z primeiro. Para um r fixo,\int_{z=0}^{1-r^{2}} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{1-r^{2}} = \frac{(1-r^{2})^{2}}{2}.
Substituindo isso no integral triplo reduzimos para um duplo:\iiint_{W} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{(1-r^{2})^{2}}{2}\; r\,dr\,d\theta.
Passo 5
Integração em r (cálculo cuidadoso, passo a passo).