Em cada caso faça o que se pede.
Encontre
onde
é a região delimitada por
e
.
Encontre
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o integral triplo
.
Informações dadas (ou seja, o que define a região
):
- A região
é formada pelos pontos que satisfazem e - Ou seja, na projeção sobre o plano
a região é o disco de raio centrado na origem, e para cada desse disco a coordenada varia de até .
Passo 2
Escolha do método e mudança de variáveis (explicação didática):
- Como a condição sobre
e é (um disco), é muito conveniente usar coordenadas polares no plano . Essas coordenadas são definidas assim: com e medindo o ângulo no plano . - A variável
fica igual a (não fazemos nada com ela). - Importante: o elemento de área no plano
transforma-se como porque em coordenadas polares o fator é o jacobiano da transformação. Assim o elemento de volume é
Passo 3
Reescrever o integrando e os limites em coordenadas polares (na base
):
- Escrever o integrando
em termos de : - Incluindo o jacobiano
, o integrando do volume fica - Os limites:
-
varia de até (porque implica ); -
varia de até (cobrindo todo o disco); - para cada
, varia de até (peguei isso da expressão ).
-
Portanto a integral fica
Passo 4
Integrar em
(passo simples e didático):
- O integrando não depende de
, então a integração em é apenas multiplicar por : - Assim a integral reduz-se a
Passo 5
Separar em parte angular e radial e calcular a integral angular (explicando a técnica):
- Note que a função dentro da integral é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de . Logo podemos separar: - Calculemos a integral angular
Faço a substituição . Então , ou . Quando tem-se ; quando tem-se . Assim Observação intuitiva: a primitiva em é , e ao avaliar entre os limites iguais e obtém-se zero. Também se pode entender pela simetria angular: a função tem médias positivas e negativas que se cancelam ao integrar sobre um período completo.
Passo 6
Conclusão final usando o resultado angular:
- Como a parte angular
é , o produto com qualquer integral radial finita dá . Logo - (Observação amiga: não precisamos realmente calcular a integral em
; basta saber que é finita — o fator angular já anula tudo.)
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