Em cada caso faça o que se pede.
Encontre \iiint_{T} x^{2} z d V onde T é a região delimitada por 0 \leq y \leq 9-x^{2}-z^{2} e x^{2}+z^{2} \leq 3.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o integral triplo \displaystyle \iiint_{T} x^{2} z \, dV.
Informações dadas (ou seja, o que define a região T):
  • A região T é formada pelos pontos (x,y,z) que satisfazem 0 \leq y \leq 9 - x^{2} - z^{2}e x^{2} + z^{2} \leq 3.
  • Ou seja, na projeção sobre o plano xz a região é o disco de raio \sqrt{3} centrado na origem, e para cada (x,z) desse disco a coordenada y varia de 0 até 9 - x^{2} - z^{2}.

Passo 2

Escolha do método e mudança de variáveis (explicação didática):
  • Como a condição sobre x e z é x^{2}+z^{2}\leq 3 (um disco), é muito conveniente usar coordenadas polares no plano xz. Essas coordenadas são definidas assim: x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,com r\ge 0 e \theta medindo o ângulo no plano xz.
  • A variável y fica igual a y (não fazemos nada com ela).
  • Importante: o elemento de área no plano xz transforma-se como dx\,dz = r\,dr\,d\theta,porque em coordenadas polares o fator r é o jacobiano da transformação. Assim o elemento de volume é dV = dx\,dz\,dy = r\,dr\,d\theta\,dy.

Passo 3

Reescrever o integrando e os limites em coordenadas polares (na base xz):
  • Escrever o integrando x^{2}z em termos de r,\theta: x^{2}z = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
  • Incluindo o jacobiano r, o integrando do volume fica x^{2}z\,dV = r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta\,dy = r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,dy\,dr\,d\theta.
  • Os limites:
    • r varia de 0 até \sqrt{3} (porque x^{2}+z^{2}\le 3 implica 0\le r\le\sqrt{3});
    • \theta varia de 0 até 2\pi (cobrindo todo o disco);
    • para cada r,\theta, y varia de 0 até 9 - r^{2} (peguei isso da expressão 9-x^{2}-z^{2}=9-r^{2}).
Portanto a integral fica
\iiint_{T} x^{2}z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{9-r^{2}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \, dy\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integrar em y (passo simples e didático):
  • O integrando não depende de y, então a integração em y é apenas multiplicar por (9-r^{2}): \int_{0}^{9-r^{2}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \, dy = r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\cdot(9-r^{2}).
  • Assim a integral reduz-se a \iiint_{T} x^{2}z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta\,(9-r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separar em parte angular e radial e calcular a integral angular (explicando a técnica):
  • Note que a função dentro da integral é produto de uma função que depende só de \theta e outra que depende só de r. Logo podemos separar: \iiint_{T} x^{2}z\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\sin\theta \, d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{\sqrt{3}} r^{4}(9-r^{2})\,dr\right).
  • Calculemos a integral angular I_\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\sin\theta \, d\theta.Faço a substituição u=\cos\theta. Então du = -\sin\theta\,d\theta, ou \sin\theta\,d\theta = -du. Quando \theta=0 tem-se u=\cos 0=1; quando \theta=2\pi tem-se u=\cos 2\pi=1. Assim I_\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\sin\theta \, d\theta = \int_{u=1}^{u=1} u^{2}(-du) = -\int_{1}^{1} u^{2}\,du = 0.Observação intuitiva: a primitiva em u é -\tfrac{1}{3}u^{3}, e ao avaliar entre os limites iguais 1 e 1 obtém-se zero. Também se pode entender pela simetria angular: a função \cos^{2}\theta\sin\theta tem médias positivas e negativas que se cancelam ao integrar sobre um período completo.

Passo 6

Conclusão final usando o resultado angular:
  • Como a parte angular I_\theta é 0, o produto com qualquer integral radial finita dá 0. Logo \iiint_{T} x^{2}z\,dV = 0.
  • (Observação amiga: não precisamos realmente calcular a integral em r; basta saber que é finita — o fator angular já anula tudo.)

Resposta

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