Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
: região entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
na região
limitada pelas curvas
,
,
e
, usando a mudança de variáveis
O conteúdo principal é transformação de coordenadas em integrais duplas e cálculo de jacobiano.
Passo 2
Vamos descrever a imagem de
no plano
. Como
as fronteiras
e
viram
e
, e as linhas
e
viram
e
. Portanto o domínio em
é o retângulo
Passo 3
Calculemos o jacobiano da transformação
. Como
temos
Logo o elemento de área transforma como
dx,dy = tfrac1v,du,dv .]
Passo 4
Reescrevendo o integrando
ysin(xy) em termos de
u,v :
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando em
(u,v) fica
Passo 5
Assim a integral original vira
Calculando cada parte:
Multiplicando, obtemos