Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
integral duplaD y sen(x y) d y d x, x=uv, y=v, D : região entre os gráficos de x y=1, x y=4, y=1, y=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDysin(xy),dy,dx
na região D limitada pelas curvas xy=1, xy=4, y=1 e y=4, usando a mudança de variáveis
x = uv, y = v
O conteúdo principal é transformação de coordenadas em integrais duplas e cálculo de jacobiano.

Passo 2

Vamos descrever a imagem de D no plano (u,v). Como
u = x,y, v = y,
as fronteiras xy=1 e xy=4 viram u=1 e u=4, e as linhas y=1 e y=4 viram v=1 e v=4. Portanto o domínio em (u,v) é o retângulo
1 <= u <= 4, 1 <= v <= 4

Passo 3

Calculemos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y). Como
x = uv, y = v,
temos
partial(x,y)partial(u,v) = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det 1v & -uv^2[6pt] 0 & 1 = 1v
Logo o elemento de área transforma como dx,dy = tfrac1v,du,dv.]

Passo 4

Reescrevendo o integrando ysin(xy) em termos de u,v:
ysin(xy) = vsinl(ur)
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando em (u,v) fica
vsin(u),1v = sin(u)

Passo 5

Assim a integral original vira
integral duplaDysin(xy),dy,dx = integralv=1^4!integralu=1^4sin(u),du,dv = l(integralu=1^4sin(u),dur)l(integralv=1^4dvr)
Calculando cada parte:
integralu=1^4sin(u),du = [-cos(u)]1^4 = -cos(4)+cos(1),
integralv=1^4dv = 4-1 = 3
Multiplicando, obtemos
3l(cos(1)-cos(4)r)

Resposta

3l(cos(1)-cos(4)r)

Exercícios relacionados