Mostre que se uma função
é limitada e integrável em
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é limitada e integrável em
, então
O conteúdo principal aqui é usar as definições de soma inferior e soma superior de Riemann, e o fato de que, para toda partição, a soma inferior fica abaixo da integral e a soma superior fica acima.
Passo 2
Definimos
Como
em todos os pontos, em cada subintervalo
da partição temos
e
.
Passo 3
Seja
uma partição qualquer de
. A soma inferior de Riemann é
Passo 4
Analogamente, a soma superior de Riemann é
Passo 5
Pela definição de integrabilidade,
Como para todo
vale
e
, concluímos