Mostre que se uma função é limitada e integrável em , então

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f:[a,b]toR é limitada e integrável em [a,b], então
(b - a),minxin[a,b]f ;<=;integrala^bf(x),dx;<=;(b - a),maxxin[a,b]f
O conteúdo principal aqui é usar as definições de soma inferior e soma superior de Riemann, e o fato de que, para toda partição, a soma inferior fica abaixo da integral e a soma superior fica acima.

Passo 2

Definimos
m ;=;minxin[a,b]f(x), M ;=;maxxin[a,b]f(x)
Como m<= f(x)<= M em todos os pontos, em cada subintervalo [xi-1,xi] da partição temos
inf[xi-1,xi]f>= m e sup[xi-1,xi]f<= M.

Passo 3

Seja P=a=x0<x1<cdots<xn=b uma partição qualquer de [a,b]. A soma inferior de Riemann é
L(f,P) =sumi=1^nl(inf[xi-1,xi]fr),(xi-xi-1) ;>=;sumi=1^nm,(xi-xi-1) =msumi=1^n(xi-xi-1) =m,(b-a)

Passo 4

Analogamente, a soma superior de Riemann é
U(f,P) =sumi=1^nl(sup[xi-1,xi]fr),(xi-xi-1) ;<=;sumi=1^nM,(xi-xi-1) =M,(b-a)

Passo 5

Pela definição de integrabilidade,
supPL(f,P) ;=; integrala^bf(x),dx ;=; infPU(f,P)
Como para todo P vale L(f,P)>= m(b-a) e U(f,P)<= M(b-a), concluímos
m,(b-a);<=;integrala^bf(x),dx;<=;M,(b-a)

Resposta

(b - a),minxin[a,b]f ;<=;integrala^bf(x),dx;<=;(b - a),maxxin[a,b]f

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