Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+z_{1} z_{2}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^3 a aplicação
\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),\,(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle \;=\; x_{1}x_{2}+z_{1}z_{2}
e pede para verificar se isso é um produto interno (bilinear, simétrico e definido-positivo). Se for, devemos dar sua matriz hermitiana na base canônica.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria:
  • Bilinearidade em \mathbb{R}: claramente a forma é linear em cada argumento porque é soma de produtos escalares.
  • Simetria:
\langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle = x_{1}x_{2}+z_{1}z_{2} = x_{2}x_{1}+z_{2}z_{1} = \langle (x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{1},y_{1},z_{1})\rangle.

Passo 3

Verificamos positividade definida calculando
\langle (x,y,z),(x,y,z)\rangle = x^{2}+z^{2}\;\ge0.
Porém, se tomarmos um vetor não nulo como (0,1,0), temos
\langle (0,1,0),(0,1,0)\rangle = 0^{2}+0^{2} = 0,
o que contraria a condição de positividade definida (deveria ser >0 para todo vetor não nulo). Logo não é produto interno.

Resposta

O formulário não é produto interno em \mathbb{R}^3 porque falta positividade definida.

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