Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{R}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+z_{1} z_{2}
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em
V=\mathbb{R}^{3}, \mathbb{K}=\mathbb{R},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+z_{1} z_{2}
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para verificar se isso é um produto interno (bilinear, simétrico e definido-positivo). Se for, devemos dar sua matriz hermitiana na base canônica.
Passo 2
Verificamos bilinearidade e simetria:
- Bilinearidade em
: claramente a forma é linear em cada argumento porque é soma de produtos escalares. - Simetria:
Passo 3
Verificamos positividade definida calculando
Porém, se tomarmos um vetor não nulo como
, temos
o que contraria a condição de positividade definida (deveria ser >0 para todo vetor não nulo). Logo não é produto interno.
Resposta
O formulário não é produto interno em
porque falta positividade definida.