Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{C}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{C},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} \overline{x_{2}}-2 y_{1} \overline{y_{2}}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{C}^2 a forma
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle \;=\; x_1\,\overline{x_2}\;-\;2\,y_1\,\overline{y_2}.
Queremos checar se isto é um produto interno (isto é, forma sesquilinear, conjugado-simétrica e definida-positiva) e, em caso afirmativo, obter sua matriz hermitiana na base canônica.

Passo 2

Conjugado-simetria e sesquilinearidade seguem diretamente das propriedades do conjugado e da soma:
  • \langle v,w\rangle = \overline{\langle w,v\rangle} porque
\overline{\langle (x_2,y_2),(x_1,y_1)\rangle} = \overline{x_2\overline{x_1}-2y_2\overline{y_1}} = x_1\overline{x_2}-2y_1\overline{y_2}.
  • É linear no primeiro argumento e conjugado-linear no segundo por linearidade do produto e conjugação.

Passo 3

Para ser produto interno, deve ser definida-positiva, ou seja
\langle (x,y),(x,y)\rangle = |x|^2 - 2\,|y|^2 \;\ge\; 0\quad\text{e igual a zero só se }(x,y)=0.ó
Mas para (x,y)=(0,1) temos
\langle (0,1),(0,1)\rangle = 0 - 2\cdot1 = -2 < 0,
logo falha a positividade.

Passo 4

Concluímos que não é um produto interno em \mathbb{C}^2, pois não é definida-positiva.

Passo 5

Mesmo não sendo produto interno, a matriz hermitiana associada à forma, na base canônica \{e_1,e_2\}, é dada por
M_{ij} = \langle e_i,e_j\rangle,
isto é,
M = \begin{pmatrix} \langle e_1,e_1\rangle & \langle e_1,e_2\rangle \\\ \langle e_2,e_1\rangle & \langle e_2,e_2\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[6pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Resposta

Não é um produto interno em V, pois falha a condição de positividade.
A matriz hermitiana associada à forma é
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.]

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