Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{C}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{C},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} \overline{x_{2}}-2 y_{1} \overline{y_{2}}
Queremos checar se isto é um produto interno (isto é, forma sesquilinear, conjugado-simétrica e definida-positiva) e, em caso afirmativo, obter sua matriz hermitiana na base canônica.
Passo 2
Conjugado-simetria e sesquilinearidade seguem diretamente das propriedades do conjugado e da soma:
\langle v,w\rangle = \overline{\langle w,v\rangle} porque