Em cada caso, verificar se
\langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{K}
é um produto interno em V. Caso afirmativo, encontrar a sua matriz hermitiana com respeito à base canônica.
V=\mathbb{C}^{2}, \mathbb{K}=\mathbb{C},\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle \;=\; x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}
é um produto interno em V=\mathbb{C}^{2} sobre \mathbb{K}=\mathbb{C}. Para ser produto interno em espaço complexo, precisamos de sesquilinearidade (linear em um argumento e conjugado-linear no outro), simetria hermitiana \langle v,w\rangle = \overline{\langle w,v\rangle}
e positividade definida \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0.

Passo 2

Verificamos a propriedade de simetria hermitiana. Tomemos
v=(x_{1},y_{1}),\quad w=(x_{2},y_{2}).
Então
\langle v,w\rangle = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}, \qquad \langle w,v\rangle = x_{2}x_{1}+y_{2}y_{1} = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.
Mas
\overline{\langle w,v\rangle} =\overline{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}} =\bar x_{1}\,\bar x_{2}+\bar y_{1}\,\bar y_{2},
que em geral é diferente de x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}. Logo \langle v,w\rangle \neq \overline{\langle w,v\rangle} em geral.

Passo 3

Além disso, para v=(x_{1},y_{1}),
\langle v,v\rangle = x_{1}^{2}+y_{1}^{2},
que não é necessariamente um número real positivo (pode ser mesmo complexo). Logo falha também a positividade.

Passo 4

Como não satisfaz simetria hermitiana nem positividade real, não é um produto interno em \mathbb{C}^{2}. Dessa forma, não existe matriz hermitiana associada a um produto interno inexistente.

Resposta

A forma \langle\cdot,\cdot\rangle dada não é um produto interno em \mathbb{C}^{2}, logo não há matriz hermitiana a encontrar.

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