Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado. a=1, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}, \text { se } 0<x<1 \\\\ 2 x-1, \text { se } 1 \leq x<2\end{array}\right. Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} \sqrt{x},&0<x<1,\\\\ 2x-1,&1\le x<2, \end{cases} e pede para verificar se f é derivável em a=1. Para isso precisamos checar dois pontos: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1. Passo 2Verificamos a continuidade em x=1. Calculamos \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\sqrt{x}=1,\quad f(1)=2\cdot1-1=1,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=1. Como os três valores coincidem, f é contínua em x=1. Passo 3Calculamos a derivada pela esquerda em x=1. Para x<1, f(x)=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Logo f'_{-}(1)=\lim_{x\to1^-}f'(x)=\frac{1}{2}. Passo 4Calculamos a derivada pela direita em x=1. Para x>1, f(x)=2x-1\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2. Logo f'_{+}(1)=\lim_{x\to1^+}f'(x)=2. Como f'_{-}(1)=\tfrac12\neq2=f'_{+}(1), as derivadas laterais não coincidem. RespostaA função f não é derivável em x=1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEm cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado. a=0, f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}, \text { se } x \leq 0 \\\ x, \text { se } x>0\end{array}\right. Em cada caso, encontre a derivada da função f(x), usando a definição. f(x)=\frac{1}{x+1}. Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado. a=1, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}, \text { se } 0<x<1 \\\ \frac{1}{2}(x+1), \text { se } 1 \leq x<2\end{array}\right. Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado. a=1, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}, \text { se } 0<x<1 \\\ \frac{1}{2}(x+1), \text { se } 1 \leq x<2\end{array}\right.