Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado.
a=1, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}, \text { se } 0<x<1 \\\\ 2 x-1, \text { se } 1 \leq x<2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \sqrt{x},&0<x<1,\\\\ 2x-1,&1\le x<2, \end{cases}
e pede para verificar se f é derivável em a=1. Para isso precisamos checar dois pontos: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. Calculamos
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\sqrt{x}=1,\quad f(1)=2\cdot1-1=1,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=1.
Como os três valores coincidem, f é contínua em x=1.

Passo 3

Calculamos a derivada pela esquerda em x=1. Para x<1,
f(x)=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo
f'_{-}(1)=\lim_{x\to1^-}f'(x)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calculamos a derivada pela direita em x=1. Para x>1,
f(x)=2x-1\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2.
Logo
f'_{+}(1)=\lim_{x\to1^+}f'(x)=2.
Como f'_{-}(1)=\tfrac12\neq2=f'_{+}(1), as derivadas laterais não coincidem.

Resposta

A função f não é derivável em x=1.

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