Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto
indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é derivável em
. Para isso, precisamos checar (i) continuidade em
e (ii) igualdade das derivadas laterais em
.
Passo 2
Verificamos a continuidade em
.
Limite à esquerda:
Limite à esquerda:
Limite à direita:
E o valor
, pela definição do ramo
, é
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Calculamos a derivada à esquerda em
.
Para ,
e sabemos que
Para
Logo,
Passo 4
Calculamos a derivada à direita em
.
Para ,
é uma função afim de coeficiente angular
. Portanto
Para
Passo 5
As derivadas laterais em
coincidem:
Como há continuidade e as derivadas laterais são iguais,
é derivável em
.
Resposta
A função é derivável em
.