Em cada caso, verifique se a função é derivável no ponto a indicado.
a=1, f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{x}, \text { se } 0<x<1 \\\ \frac{1}{2}(x+1), \text { se } 1 \leq x<2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \sqrt{x},&0<x<1,\\\ \tfrac12(x+1),&1\le x<2, \end{cases}
e pede para verificar se ela é derivável em a=1. Para isso, precisamos checar (i) continuidade em x=1 e (ii) igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1.
Limite à esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\sqrt{x}=\sqrt{1}=1.
Limite à direita:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\tfrac12(x+1)=\tfrac12(1+1)=1.
E o valor f(1), pela definição do ramo 1\le x<2, é
f(1)=\tfrac12(1+1)=1.
Como \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=1, a função é contínua em x=1.

Passo 3

Calculamos a derivada à esquerda em x=1.
Para 0<x<1, f(x)=\sqrt{x} e sabemos que
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo,
\left. f'_{-}(1)\right. = \frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac12.

Passo 4

Calculamos a derivada à direita em x=1.
Para 1\le x<2, f(x)=\tfrac12(x+1) é uma função afim de coeficiente angular \tfrac12. Portanto
\left. f'_{+}(1)\right. = \frac12.

Passo 5

As derivadas laterais em x=1 coincidem:
f'_{-}(1)=\frac12 \quad\text{e}\quad f'_{+}(1)=\frac12.
Como há continuidade e as derivadas laterais são iguais, f é derivável em x=1.

Resposta

A função é derivável em a=1.

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