Em cada caso, verifique se a matriz B é a inversa de A.
A=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 1 & 4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}4 & 3 \\[6pt] -1 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se B é a inversa de A. Lembrando que, para matrizes quadradas, B é a inversa de A exatamente quando
AB = I \quad\text{e}\quad BA = I,
onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Como A é 2\times2, seu determinante é
\det(A) = 1\cdot4 - (-3)\cdot1 = 4 + 3 = 7.
A fórmula da inversa nesse caso é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{7}\,B.
Portanto, se B fosse exatamente a inversa, deveríamos ter B = A^{-1}.]

Passo 3

Vamos calcular o produto AB:
AB = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & 3 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot4 + (-3)\cdot(-1) & 1\cdot3 + (-3)\cdot1 \\[6pt] 1\cdot4 + 4\cdot(-1) & 1\cdot3 + 4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 0 \\[4pt] 0 & 7\end{pmatrix} = 7I.]

Passo 4

O resultado é AB = 7I, não I. Logo B não satisfaz a condição AB=I (nem BA=I), ou seja, B não é a inversa de A; na verdade B = 7\,A^{-1}.

Resposta

B não é a inversa de A.

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