Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1\end{array}\right] seja antissimétrica. Passo 1O enunciado pede para encontrar a,b,c,x,y,z tais que a matriz A = \begin{pmatrix} 2x & a+b & a-2b \\\\ -6 & y^2 & 2c \\\\ 5 & 8 & z-1 \end{pmatrix} seja antissimétrica, ou seja, A^T = -A. Isso implica duas coisas principais: Os elementos da diagonal principal devem ser zero. Para i\neq j, vale A_{ij} = -A_{ji}. Passo 2Aplicando a condição de diagonal zero em cada entrada A_{ii}: A_{11} = 2x = 0,\quad A_{22} = y^2 = 0,\quad A_{33} = z-1 = 0. Logo, x = 0,\quad y^2 = 0\implies y = 0,\quad z - 1 = 0\implies z = 1. Passo 3Agora impomos a condição fora da diagonal A_{ij} = -A_{ji}: Para i=1,j=2: A_{12} = a+b,\quad A_{21} = -6, de modo que a + b = -\,A_{21} = -(-6) = 6. Para i=1,j=3: A_{13} = a-2b,\quad A_{31} = 5, de modo que a - 2b = -\,A_{31} = -5. Para i=2,j=3: A_{23} = 2c,\quad A_{32} = 8, de modo que 2c = -\,A_{32} = -8\implies c = -4. Passo 4Resolvendo o sistema linear em a e b: \begin{cases} a + b = 6,\\\ a - 2b = -5, \end{cases} subtraindo a segunda equação da primeira, (a+b)-(a-2b)=6-(-5)\implies 3b=11\implies b=\tfrac{11}{3}, e daí a = 6 - b = 6 - \tfrac{11}{3} = \tfrac{18-11}{3} = \tfrac{7}{3}. Resposta a=\tfrac{7}{3},\quad b=\tfrac{11}{3},\quad c=-4,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEscreva a matriz A=\left[a_{i j}\right] em cada caso: A é quadrada de ordem 4 e a_{i j}=\left\{\begin{array}{lll}2 i & \text { se } & i>j \\\ i-j & \text { se } & i=j \\\\ 2 j & \text { se } & i<j\end{array}\right.. Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta. Se A e B são matrizes simétricas, então A \cdot B=B \cdot A. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1\end{array}\right] seja antissimétrica. Em cada caso, verifique se a matriz B é a inversa de A. A=\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]