Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 x & a+b & a-2 b \\\\ -6 & y^{2} & 2 c \\\\ 5 & 8 & z-1\end{array}\right] seja antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a,b,c,x,y,z tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 2x & a+b & a-2b \\\\ -6 & y^2 & 2c \\\\ 5 & 8 & z-1 \end{pmatrix}
seja antissimétrica, ou seja, A^T = -A. Isso implica duas coisas principais:
  1. Os elementos da diagonal principal devem ser zero.
  2. Para i\neq j, vale A_{ij} = -A_{ji}.

Passo 2

Aplicando a condição de diagonal zero em cada entrada A_{ii}:
A_{11} = 2x = 0,\quad A_{22} = y^2 = 0,\quad A_{33} = z-1 = 0.
Logo,
x = 0,\quad y^2 = 0\implies y = 0,\quad z - 1 = 0\implies z = 1.

Passo 3

Agora impomos a condição fora da diagonal A_{ij} = -A_{ji}:
Para i=1,j=2:
A_{12} = a+b,\quad A_{21} = -6,
de modo que
a + b = -\,A_{21} = -(-6) = 6.
Para i=1,j=3:
A_{13} = a-2b,\quad A_{31} = 5,
de modo que
a - 2b = -\,A_{31} = -5.
Para i=2,j=3:
A_{23} = 2c,\quad A_{32} = 8,
de modo que
2c = -\,A_{32} = -8\implies c = -4.

Passo 4

Resolvendo o sistema linear em a e b:
\begin{cases} a + b = 6,\\\ a - 2b = -5, \end{cases}
subtraindo a segunda equação da primeira,
(a+b)-(a-2b)=6-(-5)\implies 3b=11\implies b=\tfrac{11}{3},
e daí
a = 6 - b = 6 - \tfrac{11}{3} = \tfrac{18-11}{3} = \tfrac{7}{3}.

Resposta

a=\tfrac{7}{3},\quad b=\tfrac{11}{3},\quad c=-4,\quad x=0,\quad y=0,\quad z=1.

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