Em cada um dos casos abaixo determine a derivada da função dada.
f(x)=(3 x-1) ln (1+x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (3x - 1),ln(1 + x).
Estamos lidando com um produto de funções, então vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para a derivada de ln(1+x).

Passo 2

Seja
u(x) = 3x - 1, v(x) = ln(1 + x)
A regra do produto diz que
(fg)' = f',g + f,g',
e a regra da cadeia aplicada a ln(1 + x)
ddx,ln(1 + x) = 11 + x

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = 3, v'(x) = 11 + x

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 3,ln(1 + x) + (3x - 1),11 + x

Passo 5

Para deixar numa forma única, podemos colocar tudo sobre o mesmo denominador:
f'(x) = 3(1 + x),ln(1 + x) + (3x - 1)1 + x

Resposta

f'(x) = 3,ln(1 + x) + 3x - 11 + x
ou equivalentemente
f'(x) = 3(1 + x),ln(1 + x) + 3x - 11 + x

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