Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
o produto interno usual e
.
Passo 1
O enunciado dá uma base
de
com o produto interno usual e pede para determinar uma base ortonormal a partir dessa base. As informações fornecidas são:
com
O que se pede: encontrar três vetores unitários mutuamente ortogonais que gerem o mesmo subespaço (ou seja, uma base ortonormal de
) obtida a partir de
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar a base dada em uma base ortogonal e depois normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal. Aqui estão as fórmulas e conceitos que vou usar (explicados com calma).
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar a base dada em uma base ortogonal e depois normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal. Aqui estão as fórmulas e conceitos que vou usar (explicados com calma).
Produto interno (produto escalar) no
: para dois vetores
e
tem-se
Norma de um vetor
:
Projeção de
sobre um vetor não nulo
:
Gram–Schmidt (passo a passo): defino
Os
são ortogonais entre si. Depois ficam os vetores unitários
Agora aplico isso passo a passo com contas explícitas e bem explicadas.
Passo 3
Construção de
e cálculo de
.
Defino .
Calculo a norma de :
Defino
Calculo a norma de
logo
Normalizo para obter
:
Comentário:
porque dividimos por a norma.
Passo 4
Construção de
(remoção da componente na direção de
).
Primeiro calculo :
Primeiro calculo
Já sabemos
. Assim a projeção de
sobre
é
Logo
Faço a subtração coordenada a coordenada:
Passo 5
Normalização de
para obter
.
Calculo a norma de :
Calculo a norma de
Então
Simplificando as frações (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 6
Construção de
(remoção das componentes nas direções de
e
).
Primeiro calculo :
Primeiro calculo
Então
(ou seja,
já é ortogonal a
).
Agora calculo
. Lembro
:
Também
(computado antes). Assim
Logo
Calculo
. Portanto
Passo 7
Normalização de
para obter
.
Calculo a norma de :
Calculo a norma de
Então
Passo 8
Verificação rápida (confirmação de ortonormalidade).
-
porque e são ortogonais por construção. -
porque e subtraímos a projeção. -
porque por construção. - Cada
tem norma (dividimos pelos respectivos comprimentos).
Portantoé uma base ortonormal.