Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{3},\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual e \left.\beta=\{(2,6,3),(-5,6,24),(9,-1,-4)\}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta de \mathbb{V}=\mathbb{R}^{3} com o produto interno usual e pede para determinar uma base ortonormal a partir dessa base. As informações fornecidas são:
\beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
com
v_{1}=(2,6,3),\qquad v_{2}=(-5,6,24),\qquad v_{3}=(9,-1,-4).
O que se pede: encontrar três vetores unitários mutuamente ortogonais que gerem o mesmo subespaço (ou seja, uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}) obtida a partir de \beta.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para transformar a base dada em uma base ortogonal e depois normalizar cada vetor para obter uma base ortonormal. Aqui estão as fórmulas e conceitos que vou usar (explicados com calma).
Produto interno (produto escalar) no \mathbb{R}^{3}: para dois vetores x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) tem-se
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
Norma de um vetor x:
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Projeção de v sobre um vetor não nulo u:
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Gram–Schmidt (passo a passo): defino
u_{1}=v_{1},
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}),
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
Os u_{i} são ortogonais entre si. Depois ficam os vetores unitários
e_{i}=\frac{u_{i}}{\|u_{i}\|}.
Agora aplico isso passo a passo com contas explícitas e bem explicadas.

Passo 3

Construção de u_{1} e cálculo de e_{1}.
Defino u_{1}=v_{1}=(2,6,3).
Calculo a norma de u_{1}:
\langle u_{1},u_{1}\rangle = 2^{2}+6^{2}+3^{2}=4+36+9=49,
logo
\|u_{1}\|=\sqrt{49}=7.
Normalizo para obter e_{1}:
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{1}{7}(2,6,3)=\left(\frac{2}{7},\frac{6}{7},\frac{3}{7}\right).
Comentário: \|e_{1}\|=1 porque dividimos por a norma.

Passo 4

Construção de u_{2} (remoção da componente na direção de u_{1}).
Primeiro calculo \langle v_{2},u_{1}\rangle:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = (-5)\cdot 2 + 6\cdot 6 + 24\cdot 3 = -10 + 36 + 72 = 98.
Já sabemos \langle u_{1},u_{1}\rangle=49. Assim a projeção de v_{2} sobre u_{1} é
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{98}{49}u_{1}=2u_{1}.
Logo
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=v_{2}-2u_{1}.
Faço a subtração coordenada a coordenada:
u_{2}=(-5,6,24)-2(2,6,3)=(-5,6,24)- (4,12,6)=(-9,-6,18).

Passo 5

Normalização de u_{2} para obter e_{2}.
Calculo a norma de u_{2}:
\langle u_{2},u_{2}\rangle = (-9)^{2}+(-6)^{2}+18^{2}=81+36+324=441,
\|u_{2}\|=\sqrt{441}=21.
Então
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{1}{21}(-9,-6,18)=\left(-\frac{9}{21},-\frac{6}{21},\frac{18}{21}\right).
Simplificando as frações (dividindo numerador e denominador por 3):
e_{2}=\left(-\frac{3}{7},-\frac{2}{7},\frac{6}{7}\right).

Passo 6

Construção de u_{3} (remoção das componentes nas direções de u_{1} e u_{2}).
Primeiro calculo \langle v_{3},u_{1}\rangle:
\langle v_{3},u_{1}\rangle = 9\cdot 2 + (-1)\cdot 6 + (-4)\cdot 3 = 18 -6 -12 = 0.
Então \operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})=0 (ou seja, v_{3} já é ortogonal a u_{1}).
Agora calculo \langle v_{3},u_{2}\rangle. Lembro u_{2}=(-9,-6,18):
\langle v_{3},u_{2}\rangle = 9\cdot(-9) + (-1)\cdot(-6) + (-4)\cdot 18 = -81 +6 -72 = -147.
Também \langle u_{2},u_{2}\rangle=441 (computado antes). Assim
\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2}=\frac{-147}{441}u_{2}=-\frac{1}{3}u_{2}.
Logo
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=v_{3}-0-\left(-\frac{1}{3}u_{2}\right)=v_{3}+\frac{1}{3}u_{2}.
Calculo \frac{1}{3}u_{2}=\frac{1}{3}(-9,-6,18)=(-3,-2,6). Portanto
u_{3}=v_{3}+(-3,-2,6)=(9,-1,-4)+(-3,-2,6)=(6,-3,2).

Passo 7

Normalização de u_{3} para obter e_{3}.
Calculo a norma de u_{3}:
\langle u_{3},u_{3}\rangle = 6^{2}+(-3)^{2}+2^{2}=36+9+4=49,
\|u_{3}\|=\sqrt{49}=7.
Então
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\frac{1}{7}(6,-3,2)=\left(\frac{6}{7},-\frac{3}{7},\frac{2}{7}\right).

Passo 8

Verificação rápida (confirmação de ortonormalidade).
  • \langle e_{1},e_{2}\rangle = 0 porque u_{1} e u_{2} são ortogonais por construção.
  • \langle e_{1},e_{3}\rangle = 0 porque \langle v_{3},u_{1}\rangle=0 e subtraímos a projeção.
  • \langle e_{2},e_{3}\rangle = 0 porque \langle u_{2},u_{3}\rangle=0 por construção.
  • Cada e_{i} tem norma 1 (dividimos pelos respectivos comprimentos).
    Portanto \{e_{1},e_{2},e_{3}\} é uma base ortonormal.

Resposta

\left(\dfrac{2}{7},\dfrac{6}{7},\dfrac{3}{7}\right)
\left(-\dfrac{3}{7},-\dfrac{2}{7},\dfrac{6}{7}\right)
\left(\dfrac{6}{7},-\dfrac{3}{7},\dfrac{2}{7}\right)

Exercícios relacionados