Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
o produto interno usual e
.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da base
determinar uma base ortonormal para o espaço vetorial
com o produto interno usual.
Informações dadas:
.
Produto interno usual em : para
e
,
.
O que precisamos entregar: uma base formada por dois vetores unitários e mutuamente ortogonais (ou seja, ortonormal) que gere o mesmo subespaço que (aqui todo
).
Informações dadas:
Produto interno usual em
O que precisamos entregar: uma base formada por dois vetores unitários e mutuamente ortogonais (ou seja, ortonormal) que gere o mesmo subespaço que
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
- Método: processo de Gram–Schmidt. É o jeito padrão e direto para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal em espaços com produto interno. Funciona bem aqui e é simples de aplicar.
- Definições/fórmulas úteis:
- Produto interno usual: para
e ,
- Norma associada ao produto interno: para
,
- Projeção de
sobre (quando ):
- Gram–Schmidt (passo a passo): dados
, -
, . (normalizamos o primeiro) -
. (tiramos a componente de na direção de ) -
. (normalizamos)
-
- Ao final,
será ortonormal. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, calculando produto interno e norma explicitamente.
- Produto interno usual: para
Passo 3
Definimos os vetores dados como
Começamos com
. Calculamos
:
Logo a norma de
é
Normalizamos para obter
:
Comentário informal:
é um vetor na mesma direção de
, mas com comprimento
. Bom começo!
Passo 4
Agora removemos de
a componente na direção de
. Primeiro calculamos
:
Usamos a fórmula da projeção:
Agora formamos
Interpretação:
é a parte de
que fica perpendicular a
.
Passo 5
Calculamos a norma de
. Primeiro o produto interno
:
Logo
Normalizamos
para obter
:
Podemos simplificar observando que
. Assim
Passo 6
Verificação rápida (para a cabeça):
- Norma de
: . - Norma de
: . - Ortogonalidade:
.
Portantoé realmente uma base ortonormal. Mandou bem por aguentar até aqui — faltam poucos passos na prova.