Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{2},\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno usual e \left.\beta=\{(3,1),(1,-2)\}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede: a partir da base \beta determinar uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V}=\mathbb{R}^{2} com o produto interno usual.
Informações dadas:
\beta=\{(3,1),(1,-2)\}.
Produto interno usual em \mathbb{R}^{2}: para x=(x_{1},x_{2}) e y=(y_{1},y_{2}), \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
O que precisamos entregar: uma base formada por dois vetores unitários e mutuamente ortogonais (ou seja, ortonormal) que gere o mesmo subespaço que \beta (aqui todo \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Método: processo de Gram–Schmidt. É o jeito padrão e direto para transformar uma base qualquer em uma base ortonormal em espaços com produto interno. Funciona bem aqui e é simples de aplicar.
  • Definições/fórmulas úteis:
    • Produto interno usual: para a=(a_{1},a_{2}) e b=(b_{1},b_{2}),
    \langle a,b\rangle = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
    • Norma associada ao produto interno: para a,
    \|a\| = \sqrt{\langle a,a\rangle}.
    • Projeção de v sobre u (quando u\neq 0):
    \operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
    • Gram–Schmidt (passo a passo): dados v_{1},v_{2},
      1. u_{1}=v_{1}, e_{1}=\dfrac{u_{1}}{\|u_{1}\|}. (normalizamos o primeiro)
      2. u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}). (tiramos a componente de v_{2} na direção de u_{1})
      3. e_{2}=\dfrac{u_{2}}{\|u_{2}\|}. (normalizamos)
    • Ao final, \{e_{1},e_{2}\} será ortonormal. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, calculando produto interno e norma explicitamente.

Passo 3

Definimos os vetores dados como
v_{1}=(3,1),\qquad v_{2}=(1,-2).
Começamos com u_{1}=v_{1}=(3,1). Calculamos \langle v_{1},v_{1}\rangle:
\langle v_{1},v_{1}\rangle = 3^{2}+1^{2}=9+1=10.
Logo a norma de u_{1} é
\|u_{1}\|=\sqrt{10}.
Normalizamos para obter e_{1}:
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{(3,1)}{\sqrt{10}}.
Comentário informal: e_{1} é um vetor na mesma direção de (3,1), mas com comprimento 1. Bom começo!

Passo 4

Agora removemos de v_{2} a componente na direção de u_{1}. Primeiro calculamos \langle v_{2},u_{1}\rangle:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = 1\cdot 3 + (-2)\cdot 1 = 3-2=1.
Usamos a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} =\frac{1}{10}(3,1)=\left(\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right).
Agora formamos
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=(1,-2)-\left(\frac{3}{10},\frac{1}{10}\right) =\left(1-\frac{3}{10},\,-2-\frac{1}{10}\right)=\left(\frac{7}{10},-\frac{21}{10}\right).
Interpretação: u_{2} é a parte de v_{2} que fica perpendicular a u_{1}.

Passo 5

Calculamos a norma de u_{2}. Primeiro o produto interno \langle u_{2},u_{2}\rangle:
\langle u_{2},u_{2}\rangle = \left(\frac{7}{10}\right)^{2}+\left(-\frac{21}{10}\right)^{2} =\frac{49}{100}+\frac{441}{100}=\frac{490}{100}=\frac{49}{10}.
Logo
\|u_{2}\|=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{7}{\sqrt{10}}.
Normalizamos u_{2} para obter e_{2}:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\frac{\left(\frac{7}{10},-\frac{21}{10}\right)}{\frac{7}{\sqrt{10}}} =\left(\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right).
Podemos simplificar observando que \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{1}{\sqrt{10}}. Assim
e_{2}=\frac{(1,-3)}{\sqrt{10}}.

Passo 6

Verificação rápida (para a cabeça):
  • Norma de e_{1}: \langle e_{1},e_{1}\rangle = \dfrac{9+1}{10}=1.
  • Norma de e_{2}: \langle e_{2},e_{2}\rangle = \dfrac{1+9}{10}=1.
  • Ortogonalidade: \langle e_{1},e_{2}\rangle = \dfrac{1}{10}(3\cdot 1 + 1\cdot(-3))=\dfrac{3-3}{10}=0.
    Portanto \{e_{1},e_{2}\} é realmente uma base ortonormal. Mandou bem por aguentar até aqui — faltam poucos passos na prova.

Resposta

\displaystyle \left\{\frac{(3,1)}{\sqrt{10}},\;\frac{(1,-3)}{\sqrt{10}}\right\}

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