1. Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero.

Passo 1

O enunciado afirma que “cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero”. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais, e para resolver precisamos usar a definição de conjunto linearmente dependente e verificar se ter o vetor zero é condição necessária ou apenas suficiente.

Passo 2

Por definição, um conjunto de vetores S é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Em outras palavras, existem escalares, nem todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_k v_k = 0.

Passo 3

Se um conjunto contém o vetor zero, ele é automaticamente linearmente dependente, pois podemos escolher \alpha_i=1 para o vetor zero e todos os outros escalares iguais a zero, obtendo
1\cdot 0 + 0 + \cdots + 0 = 0,
que é uma combinação não trivial. Logo, presença de zero é suficiente para dependência, mas não é condição necessária.

Passo 4

Para ver que a afirmação é falsa, basta um contra­exemplo sem o vetor zero. Considere em \mathbb R^2 o conjunto
S = \{\, (1,0),\,(2,0) \}.
Nenhum desses vetores é o vetor zero, mas eles são linearmente dependentes porque
2\cdot(1,0) - 1\cdot(2,0) = (2,0) - (2,0) = (0,0)
é uma combinação não trivial.

Resposta

Falso.

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