Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
\left(x^{2}+9\right) y^{\prime}+x y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
(x^{2}+9)\,y'+x\,y=0
e pede que identifiquemos todas as técnicas de resolução que se aplicam a ela simultaneamente. Trata-se de uma equação linear homogênea em y de primeira ordem, que também pode ser tratada como separável ou exata (com fator integrante).

Passo 2

Técnica de variáveis separáveis.
Podemos escrever
y' + \frac{x}{x^{2}+9}\,y=0
e em seguida
\frac{y'}{y}=-\frac{x}{x^{2}+9}.
Isto é separável, pois basta integrar
\int \frac{y'}{y}\,dx=\int -\frac{x}{x^{2}+9}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=-\tfrac12\ln(x^{2}+9)+C.

Passo 3

Técnica de equação linear de primeira ordem.
Na forma padrão
y'+P(x)\,y=0,
temos P(x)=\tfrac{x}{x^{2}+9}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac12\ln(x^{2}+9)\Bigr) =(x^{2}+9)^{\tfrac12}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
(x^{2}+9)^{\tfrac12}y' +\frac{x\,(x^{2}+9)^{\tfrac12}}{x^{2}+9}\,y =\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+9)^{\tfrac12}y\bigr)=0,
logo (x^{2}+9)^{\tfrac12}y=C.

Passo 4

Técnica de equação exata (com fator integrante).
Reescrevendo em forma diferencial
x\,y\,dx+(x^{2}+9)\,dy=0,
vemos que \partial(xy)/\partial y=x e \partial(x^{2}+9)/\partial x=2x, não exatas. Mas o quociente
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{x-2x}{x^{2}+9} =-\frac{x}{x^{2}+9}
depende só de x, logo existe fator integrante \mu(x)=\exp\bigl(\int-\tfrac{x}{x^{2}+9}dx\bigr)=(x^{2}+9)^{-\tfrac12}. Multiplicando-obtemos equação exata e chegamos de novo a
(x^{2}+9)^{\tfrac12}y=C.

Resposta

As técnicas que se aplicam simultaneamente à EDO (x^{2}+9)\,y'+x\,y=0 são:
  • Separação de variáveis
  • Equação linear de primeira ordem (fator integrante)
  • Equação exata, com fator integrante dependente de x

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