Para cada EDO de 1 a ordem abaixo identificar todas as técnicas de resolução que podem ser aplicadas em uma mesma EDO, justificando sua resposta:
(1+y / x) d x+\ln (x) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(1 + \tfrac{y}{x})\,dx + \ln(x)\,dy = 0
e pede para identificar todas as técnicas de resolução que se aplicam a essa mesma EDO. O conteúdo principal aqui é EDO de primeira ordem e vamos testar: exatidão, forma linear, separabilidade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Escrevemos
M(x,y) = 1 + \frac{y}{x}, \quad N(x,y) = \ln(x).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{x},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(x)\bigr) = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a forma é exata. Logo, é possível usar o método de equações exatas.

Passo 3

Para ver se é linear em y, escrevemos a equação na forma
(1 + \tfrac{y}{x}) + \ln(x)\,\frac{dy}{dx} = 0 \;\Longrightarrow\; \ln(x)\,\frac{dy}{dx} = -1 - \frac{y}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} + \underbrace{\frac{1}{x\,\ln(x)}}_{P(x)}\,y = \underbrace{-\frac{1}{\ln(x)}}_{Q(x)}.
Isso é exatamente uma EDO linear de primeira ordem em y. Portanto, pode-se aplicar o método de equação linear.

Passo 4

Checamos rapidamente as outras técnicas comuns:
– Se fosse separável, poderíamos escrever dy/dx = f(x)\,g(y), mas aqui
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\ln(x)} - \frac{y}{x\,\ln(x)}
não se separa em produto de função só de x e função só de y.
– Se fosse homogênea, precisaríamos que M e N fossem funções homogêneas de mesma grau em (x,y), mas N=\ln(x) não é homogênea.
Portanto, não se aplica separação de variáveis nem método de equações homogêneas.

Resposta

As técnicas que podem ser aplicadas à mesma EDO
(1 + \tfrac{y}{x})\,dx + \ln(x)\,dy = 0
são:
(a) Método de equações exatas, pois \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.
(b) Método de equação linear de primeira ordem em y.

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