Em cada equação abaixo pede-se:
i) Determine a solução do valor inicial;
ii) Determine o intervalo para o qual a EDO tem solução;
iii) Plot o gráfico da solução.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
f)
;
g)
i) Determine a solução do valor inicial;
ii) Determine o intervalo para o qual a EDO tem solução;
iii) Plot o gráfico da solução.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vou primeiro listar com calma o que cada item pede e quais são as informações dadas. Assim a gente não se perde no enunciado.
a) Tem-se a EDO
com condição inicial
.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo ; (iii) gráfico da solução.
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo
b) Tem-se a forma diferencial
com
.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo ; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo
c)
com
.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência; (iii) gráfico.
d)
com
.\n
Pede-se: (i) solução (pode ficar implícita ou explícita); (ii) intervalo de existência maximal contendo ; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução (pode ficar implícita ou explícita); (ii) intervalo de existência maximal contendo
e)
com
.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo ; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo
f)
com
.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal contendo ; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal contendo
g)
com
.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal; (iii) gráfico.
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal; (iii) gráfico.
Agora vou resolver cada item passo a passo, integrando, encontrando constantes e analisando domínio/intervalo e comportamento (para desenhar o gráfico mentalmente).
Passo 2
(a) Resolver
Primeiro identifico que é uma EDO separável: posso escrever
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
A integral do lado direito é
Juntando (absorvendo constantes) obtenho a relação
Uso a condição inicial
: ao substituir
,
Logo a solução explícita (escolhida pela constante) é
Agora o intervalo de existência maximal: a solução é racional com denominador
. Solução existe enquanto
. Vou achar as raízes de
:
com discriminante
, então raízes
A condição inicial
está entre
e
, então o intervalo maximal contendo
onde a solução é bem definida é
Para o gráfico: como
, temos
. No intervalo
o denominador é positiva, então
é sempre negativo. Quando
ou
o denominador tende a
e
. O gráfico é uma curva contínua negativa, com valor
em
, decaindo para
perto das bordas.
Passo 3
(b) Resolver
Vou manipular a equação para separar. Multiplico a equação por
(isso é um truque natural porque temos
):
Agrupando,
Agora integro ambos os lados:
No lado esquerdo
No lado direito uso uma primitiva conhecida:
portanto
Uso
: quando
,
e
, logo
Assim
Podemos reescrever de forma mais elegante:
Como temos condição inicial
, tomamos a raiz positiva:
Intervalo de existência maximal contendo
: a expressão interior da raiz deve ser não negativa:
Observe que
. A função
é contínua, tende a
quando
e tende a
quando
. Pelo comportamento monótono em torno de
(derivada muda de sinal em
), existe uma raiz à esquerda de
e uma raiz à direita de
. Fiz uma aproximação numérica razoável (para sabermos o intervalo): as raízes estão aproximadamente em
Portanto o intervalo maximal que contém
é aproximadamente
Para o gráfico:
é positiva no intervalo, tem
, e tende a
nas extremidades do intervalo (onde a expressão dentro da raiz se anula). Entre esses pontos
sobe/decai conforme
.
Passo 4
(c) Resolver
Equação separável: multiplico por
:
Integro:
Com
temos
e
, então
. Assim
Como
e queremos a solução que satisfaz a condição inicial, escolhemos o ramo negativo:
Intervalo de existência: a expressão dentro da raiz é
. Para todo
temos
e
, então a quantidade é
. Logo a solução está bem definida para todo
.
Gráfico: é a raiz negativa, contínua, simétrica em
(porque depende de
), com
. À medida que
cresce,
cresce lentamente e
cresce sem limite, logo
quando
.
Passo 5
(d) Resolver
É uma EDO separável multiplicando ambos os lados por
:
Integro ambos os lados:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Juntando (absorvendo constantes) obtemos a solução implícita
Usando
:
e
em
é
, logo
Assim
Posso resolver explicitamente para
usando fórmula quadrática:
Para escolher o sinal usamos
. Em
a raiz interna vale
e
. Então as duas possibilidades são
, ou
ou
. Como queremos
escolhemos o sinal negativo:
Intervalo de existência maximal contendo
: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Além disso, o denominador original da EDO
não pode ser zero; entretanto
ocorre exatamente quando a raiz interna é
, porque se
então
e
. Portanto os pontos onde
são precisamente singularidades do problema (onde a solução atinge o valor
e o lado direito torna-se indefinido). Assim o intervalo maximal contendo
é o intervalo entre as duas raízes de
mais próximas de
. Aproximações numéricas razoáveis (para sabermos o intervalo) dão:
Logo o intervalo maximal contendo
é aproximadamente
Para o gráfico: a solução é contínua para
nesse intervalo, começa em
. À medida que
se aproxima de uma das extremidades do intervalo, a raiz interna tende a
e
. O denominador
tende a zero aí, indicando comportamento singular no lado direito da EDO; graficamente a curva se aproxima de
nesses pontos.
Passo 6
(e) Resolver
Separável:
Integro ambos os lados:
No lado esquerdo uma primitiva é
No lado direito,
Portanto
Multiplico por
para simplificar:
Uso a condição inicial
. Calculando:
e
. Substituindo:
Logo
Usando a identidade
, fica
Agora atenção ao ramo de
: a função seno tem imagem em
, então é necessário que
. Como
, requisitamos
, ou seja
Isso restringe
ao intervalo entre as duas soluções de
. Denotando
, as bordas são
e
. A condição inicial
está entre essas duas abscissas, então o intervalo maximal contendo
é
Sobre o sinal/ramo para
: da igualdade
sabemos que em
o lado direito é
, mas
satisfaz
, que também tem seno zero. Para escrever explicitamente
de forma contínua ao redor de
escolhemos a expressão
pois em
isso dá
. Portanto a solução (no intervalo onde o argumento é admissível) é
com
em
.
Gráfico:
é contínua nesse intervalo, satisfaz
. Como
no intervalo,
toma valores em
, então
varia entre
e
aproximadamente (dependendo de
).
Passo 7
(f) Resolver
É separável:
Integro o lado esquerdo:
No lado direito uso a substituição
,
, então
Igualando e absorvendo constantes:
Usando
: quando
temos
, logo
. Assim
Multiplico por
:
Invertendo:
Como
escolho o ramo positivo:
Agora o domínio: o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
Elevando ao quadrado:
Portanto o intervalo maximal contendo
é
Gráfico:
no intervalo,
. Quando
a quantidade
e
. O gráfico sobe simetricamente até um divergir vertical nas bordas.
Passo 8
(g) Resolver
Multiplico e separo:
Integro ambos os lados:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Juntando:
Usando
, temos
. Assim
. Então
Reescrevendo o lado direito:
Logo
Tomando raiz para obter
:
. Como
é negativo, escolhemos o ramo negativo:
Intervalo de existência: a expressão
é positiva para todo
, então a solução está definida globalmente:
Gráfico: é a raiz negativa, simétrica em
, com
. Quando
cresce,
decresce (mais negativo) como
em escala grande (comportamento aproximadamente linear em grande escala).
Resposta
a) i)
ii) intervalo maximal contendo
:
iii) gráfico:
em
,
, e
quando
ou
.
b) i)
ii) intervalo maximal aproximado contendo
:
iii) gráfico:
no intervalo,
, e
nas extremidades do intervalo onde a raiz se anula.
c) i)
ii) intervalo maximal:
iii) gráfico: simétrico,
, e
quando
.
d) i)
, explicitando o ramo com a condição inicial:
ii) intervalo maximal aproximado contendo
:
iii) gráfico: contínuo no intervalo,
, aproxima
nas bordas (onde ocorre singularidade).
e) i)
e, escolhendo o ramo que satisfaz
,
ii) intervalo maximal contendo
:
iii) gráfico:
,
varia entre valores próximos de
e
no intervalo e é contínua.
f) i)
ii) intervalo maximal contendo
:
iii) gráfico:
,
, e
quando
se aproxima das extremidades do intervalo.
g) i)
ii) intervalo maximal:
iii) gráfico: função negativa e simétrica,
, com
crescendo quando
aumenta.