Em cada equação abaixo pede-se:
i) Determine a solução do valor inicial;
ii) Determine o intervalo para o qual a EDO tem solução;
iii) Plot o gráfico da solução.
a) y^{\prime}=(1-2 x) y^{2}, \quad y(0)=-\frac{1}{6};
b) x d x+y e^{-x} d y=0, y(0)=1;
c) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, \quad y(0)=-2;
d) y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-e^{x}}{2 y-5}, \quad y(0)=1;
e) \sin (2 x) d x+\cos (3 y) d y=0, \quad y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{3} ;
f) y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}, \quad y(0)=1;
g) y^{\prime}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{4 y^{3}}, \quad y(0)=-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 1

Vou primeiro listar com calma o que cada item pede e quais são as informações dadas. Assim a gente não se perde no enunciado.
a) Tem-se a EDO \;y'=(1-2x)y^{2}\; com condição inicial \;y(0)=-\tfrac{1}{6}.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo 0; (iii) gráfico da solução.
b) Tem-se a forma diferencial \;x\,dx+y e^{-x}\,dy=0\; com \;y(0)=1.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo 0; (iii) gráfico.
c) \;y'=\dfrac{2x}{y+x^{2}y}=\dfrac{2x}{y(1+x^{2})}\; com \;y(0)=-2.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência; (iii) gráfico.
d) \;y'=\dfrac{3x^{2}-e^{x}}{2y-5}\; com \;y(0)=1.\n
Pede-se: (i) solução (pode ficar implícita ou explícita); (ii) intervalo de existência maximal contendo 0; (iii) gráfico.
e) \;\sin(2x)\,dx+\cos(3y)\,dy=0\; com \;y\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}.\n
Pede-se: (i) solução do valor inicial; (ii) intervalo de existência maximal contendo x=\tfrac{\pi}{2}; (iii) gráfico.
f) \;y'=x\,y^{3}(1+x^{2})^{-1/2}\; com \;y(0)=1.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal contendo 0; (iii) gráfico.
g) \;y'=\dfrac{x(1+x^{2})}{4y^{3}}\; com \;y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\n
Pede-se: (i) solução; (ii) intervalo de existência maximal; (iii) gráfico.
Agora vou resolver cada item passo a passo, integrando, encontrando constantes e analisando domínio/intervalo e comportamento (para desenhar o gráfico mentalmente).

Passo 2

(a) Resolver \;y'=(1-2x)y^{2},\; y(0)=-\tfrac{1}{6}.
Primeiro identifico que é uma EDO separável: posso escrever
\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=(1-2x)\,dx.
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y}+C_1.
A integral do lado direito é
\int (1-2x)\,dx = x - x^{2} + C_2.
Juntando (absorvendo constantes) obtenho a relação
-\frac{1}{y} = x - x^{2} + C.
Uso a condição inicial \;y(0)=-\tfrac{1}{6}: ao substituir (x,y)=(0,-\tfrac{1}{6}),
-\frac{1}{-\tfrac{1}{6}} = 6 = 0 - 0 + C \implies C=6.
Logo a solução explícita (escolhida pela constante) é
-\frac{1}{y} = x - x^{2} + 6 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=-\frac{1}{x - x^{2} + 6}.
Agora o intervalo de existência maximal: a solução é racional com denominador D(x)=x - x^{2} +6 = -x^{2}+x+6. Solução existe enquanto D(x)\neq 0. Vou achar as raízes de D(x)=0:
-x^{2}+x+6=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-x-6=0
com discriminante \Delta=1+24=25, então raízes
x=\frac{1\pm5}{2}\;\Rightarrow\; x=3\\ \text{e}\\ x=-2.
A condição inicial x=0 está entre -2 e 3, então o intervalo maximal contendo 0 onde a solução é bem definida é
(-2,\,3).
Para o gráfico: como D(0)=6>0, temos y(0)=-\tfrac{1}{6}<0. No intervalo (-2,3) o denominador é positiva, então y(x) é sempre negativo. Quando x\to -2^{+} ou x\to 3^{-} o denominador tende a 0^{+} e y(x)\to -\infty. O gráfico é uma curva contínua negativa, com valor -\tfrac{1}{6} em x=0, decaindo para -\infty perto das bordas.

Passo 3

(b) Resolver \;x\,dx + y e^{-x}\,dy=0,\; y(0)=1.
Vou manipular a equação para separar. Multiplico a equação por e^{x} (isso é um truque natural porque temos e^{-x}):
e^{x}x\,dx + y\,dy = 0.
Agrupando, \;y\,dy = - x e^{x}\,dx. Agora integro ambos os lados:
\int y\,dy = \int -x e^{x}\,dx.
No lado esquerdo \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}. No lado direito uso uma primitiva conhecida:
\int x e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + C,
portanto
\frac{y^{2}}{2} = - (x-1)e^{x} + C.
Uso y(0)=1: quando x=0, y^{2}/2 = 1/2 e -(0-1)e^{0}=1, logo
\frac{1}{2} = 1 + C \implies C=-\frac{1}{2}.
Assim
\frac{y^{2}}{2} = - (x-1)e^{x} -\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad y^{2} = -2(x-1)e^{x} -1.
Podemos reescrever de forma mais elegante:
y^{2} = 2e^{x}(1-x) -1.
Como temos condição inicial y(0)=1>0, tomamos a raiz positiva:
y(x) = \sqrt{\,2e^{x}(1-x)-1\,}.
Intervalo de existência maximal contendo 0: a expressão interior da raiz deve ser não negativa:
F(x)=2e^{x}(1-x)-1 \ge 0.
Observe que F(0)=1>0. A função F é contínua, tende a -1 quando x\to -\infty e tende a -\infty quando x\to +\infty. Pelo comportamento monótono em torno de 0 (derivada muda de sinal em 0), existe uma raiz à esquerda de 0 e uma raiz à direita de 0. Fiz uma aproximação numérica razoável (para sabermos o intervalo): as raízes estão aproximadamente em
x_{\text{esq}}\approx -1{,}674\quad\text{e}\quad x_{\text{dir}}\approx 0{,}767.
Portanto o intervalo maximal que contém 0 é aproximadamente
\bigl(-1{,}674,\;0{,}767\bigr).
Para o gráfico: y(x) é positiva no intervalo, tem y(0)=1, e tende a 0 nas extremidades do intervalo (onde a expressão dentro da raiz se anula). Entre esses pontos y sobe/decai conforme F(x).

Passo 4

(c) Resolver \;y'=\dfrac{2x}{y(1+x^{2})},\; y(0)=-2.
Equação separável: multiplico por y\,dx:
y\,dy = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Integro:
\int y\,dy = \int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{2} = \ln(1+x^{2}) + C.
Com y(0)=-2 temos y^{2}(0)/2 = 2 e \ln(1+0)=0, então C=2. Assim
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+x^{2}) + 2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=2\ln(1+x^{2})+4.
Como y(0)=-2 e queremos a solução que satisfaz a condição inicial, escolhemos o ramo negativo:
y(x) = -\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.
Intervalo de existência: a expressão dentro da raiz é 2\ln(1+x^{2})+4. Para todo x\in\mathbb{R} temos 1+x^{2}\ge1 e \ln(1+x^{2})\ge0, então a quantidade é \ge 4>0. Logo a solução está bem definida para todo x\in(-\infty,\infty).
Gráfico: é a raiz negativa, contínua, simétrica em x (porque depende de x^{2}), com y(0)=-2. À medida que |x| cresce, \ln(1+x^{2}) cresce lentamente e |y| cresce sem limite, logo y\to -\infty quando |x|\to\infty.

Passo 5

(d) Resolver \;y'=\dfrac{3x^{2}-e^{x}}{2y-5},\; y(0)=1.
É uma EDO separável multiplicando ambos os lados por 2y-5:
(2y-5)\,dy = (3x^{2}-e^{x})\,dx.
Integro ambos os lados:
\int (2y-5)\,dy = \int (3x^{2}-e^{x})\,dx.
No lado esquerdo:
\int (2y-5)\,dy = y^{2}-5y + C_1.
No lado direito:
\int (3x^{2}-e^{x})\,dx = x^{3}-e^{x} + C_2.
Juntando (absorvendo constantes) obtemos a solução implícita
y^{2}-5y = x^{3}-e^{x} + C.
Usando y(0)=1: 1^{2}-5\cdot1 = -4 e x^{3}-e^{x} em 0 é -1, logo
-4 = -1 + C \implies C=-3.
Assim
y^{2}-5y = x^{3}-e^{x}-3.
Posso resolver explicitamente para y usando fórmula quadrática:
y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4(x^{3}-e^{x}-3)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.
Para escolher o sinal usamos y(0)=1. Em x=0 a raiz interna vale 13 - 4 =9 e \sqrt{9}=3. Então as duas possibilidades são y=(5\pm3)/2, ou y=4 ou y=1. Como queremos y(0)=1 escolhemos o sinal negativo:
y(x)=\frac{5 - \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.
Intervalo de existência maximal contendo 0: a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
S(x)=13 + 4x^{3} - 4e^{x} \ge 0.
Além disso, o denominador original da EDO 2y-5 não pode ser zero; entretanto 2y-5=0 ocorre exatamente quando a raiz interna é 0, porque se \sqrt{S(x)}=0 então y=\tfrac{5}{2} e 2y-5=0. Portanto os pontos onde S(x)=0 são precisamente singularidades do problema (onde a solução atinge o valor y=5/2 e o lado direito torna-se indefinido). Assim o intervalo maximal contendo 0 é o intervalo entre as duas raízes de S(x) mais próximas de 0. Aproximações numéricas razoáveis (para sabermos o intervalo) dão:
x_{\text{esq}}\approx -1{,}447\quad\text{e}\quad x_{\text{dir}}\approx 4{,}635.
Logo o intervalo maximal contendo 0 é aproximadamente
\bigl(-1{,}447,\;4{,}635\bigr).
Para o gráfico: a solução é contínua para x nesse intervalo, começa em y(0)=1. À medida que x se aproxima de uma das extremidades do intervalo, a raiz interna tende a 0 e y\to 5/2. O denominador 2y-5 tende a zero aí, indicando comportamento singular no lado direito da EDO; graficamente a curva se aproxima de y=\tfrac{5}{2} nesses pontos.

Passo 6

(e) Resolver \;\sin(2x)\,dx+\cos(3y)\,dy=0,\; y\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}.
Separável: \cos(3y)\,dy = -\sin(2x)\,dx. Integro ambos os lados:
\int \cos(3y)\,dy = \int -\sin(2x)\,dx.
No lado esquerdo uma primitiva é
\int \cos(3y)\,dy = \frac{1}{3}\sin(3y).
No lado direito,
\int -\sin(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cos(2x).
Portanto
\frac{1}{3}\sin(3y) = \frac{1}{2}\cos(2x) + C.
Multiplico por 6 para simplificar:
2\sin(3y) = 3\cos(2x) + C'.
Uso a condição inicial x=\tfrac{\pi}{2},\,y=\tfrac{\pi}{3}. Calculando: \sin(3\cdot \tfrac{\pi}{3})=\sin(\pi)=0 e \cos(2\cdot \tfrac{\pi}{2})=\cos(\pi)=-1. Substituindo:
0 = 3(-1) + C' \implies C'=3.
Logo
2\sin(3y) = 3\cos(2x) + 3 \quad\Longrightarrow\quad \sin(3y)=\tfrac{3}{2}\bigl(\cos(2x)+1\bigr).
Usando a identidade \cos(2x)+1 = 2\cos^{2}x, fica
\sin(3y) = 3\cos^{2}x.
Agora atenção ao ramo de \arcsin: a função seno tem imagem em [-1,1], então é necessário que 3\cos^{2}x\in[-1,1]. Como 3\cos^{2}x\ge0, requisitamos 3\cos^{2}x\le 1, ou seja
\cos^{2}x\le \frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad |\cos x|\le \frac{1}{\sqrt{3}}.
Isso restringe x ao intervalo entre as duas soluções de \cos x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}. Denotando \alpha=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr), as bordas são \alpha e \pi-\alpha. A condição inicial x=\tfrac{\pi}{2} está entre essas duas abscissas, então o intervalo maximal contendo \tfrac{\pi}{2} é
\bigl(\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3}),\;\pi-\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3})\bigr).
Sobre o sinal/ramo para y: da igualdade \sin(3y)=3\cos^{2}x sabemos que em x=\tfrac{\pi}{2} o lado direito é 0, mas y(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{\pi}{3} satisfaz 3y=\pi, que também tem seno zero. Para escrever explicitamente y de forma contínua ao redor de x=\tfrac{\pi}{2} escolhemos a expressão
3y = \pi - \arcsin\!\bigl(3\cos^{2}x\bigr),
pois em x=\tfrac{\pi}{2} isso dá 3y=\pi. Portanto a solução (no intervalo onde o argumento é admissível) é
y(x) = \frac{\pi - \arcsin\!\bigl(3\cos^{2}x\bigr)}{3},
com x em \bigl(\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3}),\;\pi-\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3})\bigr).
Gráfico: y é contínua nesse intervalo, satisfaz y(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{\pi}{3}. Como 3\cos^{2}x\in[0,1] no intervalo, \arcsin toma valores em [0,\tfrac{\pi}{2}], então y(x) varia entre \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{3} aproximadamente (dependendo de x).

Passo 7

(f) Resolver \;y'=x\,y^{3}(1+x^{2})^{-1/2},\; y(0)=1.
É separável:
\frac{dy}{y^{3}} = x(1+x^{2})^{-1/2}\,dx.
Integro o lado esquerdo:
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2y^{2}} + C_1.
No lado direito uso a substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx, então
\int x(1+x^{2})^{-1/2}\,dx = \int \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du = \sqrt{u} + C_2 = \sqrt{1+x^{2}} + C_2.
Igualando e absorvendo constantes:
-\frac{1}{2y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C.
Usando y(0)=1: quando x=0 temos -\tfrac{1}{2} = 1 + C, logo C=-\tfrac{3}{2}. Assim
-\frac{1}{2y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} -\frac{3}{2}.
Multiplico por -2:
\frac{1}{y^{2}} = -2\sqrt{1+x^{2}} + 3.
Invertendo:
y^{2} = \frac{1}{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Como y(0)=1>0 escolho o ramo positivo:
y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.
Agora o domínio: o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
3 - 2\sqrt{1+x^{2}} > 0 \;\Longrightarrow\; \sqrt{1+x^{2}} < \frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado:
1+x^{2} < \frac{9}{4} \;\Longrightarrow\; x^{2} < \frac{5}{4} \;\Longrightarrow\; |x| < \frac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto o intervalo maximal contendo 0 é
\Bigl(-\frac{\sqrt{5}}{2},\;\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigr).
Gráfico: y(x)>0 no intervalo, y(0)=1. Quando x\to \pm\frac{\sqrt{5}}{2} a quantidade 3-2\sqrt{1+x^{2}}\to 0^{+} e y(x)\to +\infty. O gráfico sobe simetricamente até um divergir vertical nas bordas.

Passo 8

(g) Resolver \;y'=\dfrac{x(1+x^{2})}{4y^{3}},\; y(0)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Multiplico e separo:
4y^{3}\,dy = x(1+x^{2})\,dx.
Integro ambos os lados:
\int 4y^{3}\,dy = \int \bigl(x + x^{3}\bigr)\,dx.
No lado esquerdo:
\int 4y^{3}\,dy = y^{4} + C_1.
No lado direito:
\int \bigl(x + x^{3}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C_2.
Juntando:
y^{4} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C.
Usando y(0)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, temos y^{4}(0)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^{4}=\tfrac{1}{4}. Assim C=\tfrac{1}{4}. Então
y^{4} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{4}.
Reescrevendo o lado direito:
\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{x^{4} + 2x^{2} + 1}{4} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{4}.
Logo
y^{4} = \frac{(x^{2}+1)^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{x^{2}+1}{2}.
Tomando raiz para obter y: y=\pm\sqrt{\tfrac{x^{2}+1}{2}}. Como y(0)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} é negativo, escolhemos o ramo negativo:
y(x) = -\sqrt{\frac{x^{2}+1}{2}}.
Intervalo de existência: a expressão \tfrac{x^{2}+1}{2} é positiva para todo x\in\mathbb{R}, então a solução está definida globalmente:
(-\infty,\infty).
Gráfico: é a raiz negativa, simétrica em x, com y(0)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Quando |x| cresce, y(x) decresce (mais negativo) como -\tfrac{|x|}{\sqrt{2}} em escala grande (comportamento aproximadamente linear em grande escala).

Resposta

a) i) y(x)=-\dfrac{1}{x-x^{2}+6}. ii) intervalo maximal contendo 0: (-2,\,3). iii) gráfico: y<0 em (-2,3), y(0)=-\tfrac{1}{6}, e y\to -\infty quando x\to -2^{+} ou x\to 3^{-}.
b) i) y(x)=\sqrt{\,2e^{x}(1-x)-1\,}. ii) intervalo maximal aproximado contendo 0: \bigl(-1{,}674,\;0{,}767\bigr). iii) gráfico: y>0 no intervalo, y(0)=1, e y\to 0 nas extremidades do intervalo onde a raiz se anula.
c) i) y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}. ii) intervalo maximal: (-\infty,\infty). iii) gráfico: simétrico, y(0)=-2, e y\to -\infty quando |x|\to\infty.
d) i) y^{2}-5y = x^{3}-e^{x}-3, explicitando o ramo com a condição inicial:
y(x)=\frac{5 - \sqrt{13 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.
ii) intervalo maximal aproximado contendo 0: \bigl(-1{,}447,\;4{,}635\bigr). iii) gráfico: contínuo no intervalo, y(0)=1, aproxima y=\tfrac{5}{2} nas bordas (onde ocorre singularidade).
e) i) \displaystyle \sin(3y)=3\cos^{2}x e, escolhendo o ramo que satisfaz y(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{\pi}{3},
y(x)=\frac{\pi - \arcsin\!\bigl(3\cos^{2}x\bigr)}{3}.
ii) intervalo maximal contendo x=\tfrac{\pi}{2}:
\displaystyle \bigl(\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3}),\;\pi-\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3})\bigr). iii) gráfico: y(\tfrac{\pi}{2})=\tfrac{\pi}{3}, y varia entre valores próximos de \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{3} no intervalo e é contínua.
f) i) y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}. ii) intervalo maximal contendo 0:
\displaystyle \Bigl(-\frac{\sqrt{5}}{2},\;\frac{\sqrt{5}}{2}\Bigr). iii) gráfico: y>0, y(0)=1, e y\to +\infty quando x se aproxima das extremidades do intervalo.
g) i) y(x)=-\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{2}}. ii) intervalo maximal: (-\infty,\infty). iii) gráfico: função negativa e simétrica, y(0)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}, com |y| crescendo quando |x| aumenta.

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