\rightarrow Prove que a sequência f_{n}=\frac{a_{n}+1}{a_{n}} é uma sequéncia convergente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \displaystyle f_{n}=\frac{a_{n}+1}{a_{n}}.
Informações que temos explicitamente: a fórmula de f_{n}.
Observação importante (necessária para resolver): para que a sequência f_{n} esteja bem definida e possamos falar de limite, precisamos que a_{n}\neq0 para todo n. Além disso, para provar convergência de f_{n} a partir de informação sobre a_{n} vamos assumir que \displaystyle a_{n} converge para algum número a. Durante a resolução vou tratar os dois casos distintos: a\neq0 (caso desejável) e a=0 (caso problemático). Não há outras hipóteses no enunciado, então estas são as hipóteses que vamos usar.
Passo 2
O que significa "uma sequência \{x_n\} converge para L"? Vou explicar com calma: por definição, dizemos \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, temos |x_n-L|<\varepsilon. Essa é a definição \varepsilon-N. Vou usar essa definição para provar resultados de limites de combinações de sequências (somar, multiplicar, inverter, etc.). Não se preocupe: vou aplicar ela passo a passo.
Passo 3
Primeiro cálculo algébrico simples e útil:
\frac{a_n+1}{a_n}=1+\frac{1}{a_n}.
Ou seja, \displaystyle f_n = 1 + \frac{1}{a_n}. Então, se eu conseguir provar que \displaystyle \frac{1}{a_n} converge, por soma de limites (uma vez provada a convergência dessa parcela) terei a convergência de f_n. Agora foquemos em provar que, se \displaystyle a_n\to a com a\neq0, então \displaystyle \frac{1}{a_n}\to\frac{1}{a}.
Passo 4
Prova de que, se \displaystyle a_n\to a e a\neq0, então \displaystyle \frac{1}{a_n}\to\frac{1}{a}. Vou usar a definição \varepsilon-N e um truque padrão para evitar divisão por números próximos de zero.
Como \displaystyle a_n\to a e a\neq0, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 vale
|a_n-a|<\frac{|a|}{2}.
Isto é possível tomando \varepsilon=\frac{|a|}{2} na definição de limite. Dessa desigualdade segue
Mostrei explicitamente o argumento \varepsilon-N para a passagem do inverso; a soma com 1 é imediata (somar a constante 1 corresponde a somar o limite 1).
Passo 6
Discussão do caso a=0 e da hipótese a_n\neq0:
Se para algum n tivermos a_n=0, então f_n não está definida (divisão por zero), logo não faz sentido falar em convergência sem excluir esses termos. Por isso é necessário que a_n\neq0 para todo n (ou ao menos para n suficientemente grande).
Se \displaystyle a_n\to0 (e a_n\neq0 sempre), a sequência f_n pode divergir. Exemplo simples: tome a_n=\dfrac{1}{n}. Então a_n\to0, e
f_n=\frac{a_n+1}{a_n}=1+\frac{1}{a_n}=1+n,
que diverge para +\infty. Portanto a condição a\neq0 é essencial para garantir convergência finita de f_n.
Resposta
Se \displaystyle a_n\to a com a\neq0 e a_n\neq0 para todo n, então \displaystyle f_n=\frac{a_n+1}{a_n}\to\frac{a+1}{a}.
Se \displaystyle a_n\to0 (mesmo com a_n\neq0 para todo n), a sequência \displaystyle f_n pode divergir (ex.: a_n=\frac{1}{n} dá f_n=1+n\to+\infty).