\rightarrow Prove que a sequência f_{n}=\frac{a_{n}+1}{a_{n}} é uma sequéncia convergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle f_{n}=\frac{a_{n}+1}{a_{n}}.
Informações que temos explicitamente: a fórmula de f_{n}.
Observação importante (necessária para resolver): para que a sequência f_{n} esteja bem definida e possamos falar de limite, precisamos que a_{n}\neq0 para todo n. Além disso, para provar convergência de f_{n} a partir de informação sobre a_{n} vamos assumir que \displaystyle a_{n} converge para algum número a. Durante a resolução vou tratar os dois casos distintos: a\neq0 (caso desejável) e a=0 (caso problemático). Não há outras hipóteses no enunciado, então estas são as hipóteses que vamos usar.

Passo 2

O que significa "uma sequência \{x_n\} converge para L"? Vou explicar com calma: por definição, dizemos \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, temos |x_n-L|<\varepsilon. Essa é a definição \varepsilon- N. Vou usar essa definição para provar resultados de limites de combinações de sequências (somar, multiplicar, inverter, etc.). Não se preocupe: vou aplicar ela passo a passo.

Passo 3

Primeiro cálculo algébrico simples e útil:
\frac{a_n+1}{a_n}=1+\frac{1}{a_n}.
Ou seja, \displaystyle f_n = 1 + \frac{1}{a_n}. Então, se eu conseguir provar que \displaystyle \frac{1}{a_n} converge, por soma de limites (uma vez provada a convergência dessa parcela) terei a convergência de f_n. Agora foquemos em provar que, se \displaystyle a_n\to a com a\neq0, então \displaystyle \frac{1}{a_n}\to\frac{1}{a}.

Passo 4

Prova de que, se \displaystyle a_n\to a e a\neq0, então \displaystyle \frac{1}{a_n}\to\frac{1}{a}. Vou usar a definição \varepsilon- N e um truque padrão para evitar divisão por números próximos de zero.
  1. Como \displaystyle a_n\to a e a\neq0, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 vale
|a_n-a|<\frac{|a|}{2}.
Isto é possível tomando \varepsilon=\frac{|a|}{2} na definição de limite. Dessa desigualdade segue
|a_n|\ge |\,|a|-|a_n-a|\,| > |a|-\frac{|a|}{2}=\frac{|a|}{2}.
Portanto, para n\ge N_1 temos |a_n|>\dfrac{|a|}{2}, ou seja, os termos a_n ficam afastados de zero por uma margem fixa.
  1. Calcule a diferença que queremos controlar:
\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right|=\frac{|a-a_n|}{|a||a_n|}.
Usando o limite inferior |a_n|>\dfrac{|a|}{2} para n\ge N_1, obtemos para n\ge N_1 a desigualdade
\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right|\le \frac{|a-a_n|}{|a|\cdot (|a|/2)}=\frac{2|a-a_n|}{|a|^2}.
  1. Agora vem o passo \varepsilon- N: dado um \varepsilon>0 qualquer, escolha N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
|a_n-a|<\frac{|a|^2}{2}\,\varepsilon.
Isso é possível porque a_n\to a. Tomando N=\max\{N_1,N_2\}, para todo n\ge N combinamos as duas desigualdades e obtemos
\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right|\le \frac{2|a-a_n|}{|a|^2}<\frac{2}{|a|^2}\cdot\frac{|a|^2}{2}\varepsilon=\varepsilon.
Portanto, pela definição \varepsilon- N, \displaystyle \frac{1}{a_n}\to\frac{1}{a}.

Passo 5

Concluímos então, usando o resultado do passo anterior e a adição de limites, que se \displaystyle a_n\to a com a\neq0 e a_n\neq0 para todo n, então
f_n = 1+\frac{1}{a_n} \longrightarrow 1+\frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}.
Mostrei explicitamente o argumento \varepsilon- N para a passagem do inverso; a soma com 1 é imediata (somar a constante 1 corresponde a somar o limite 1).

Passo 6

Discussão do caso a=0 e da hipótese a_n\neq0:
  • Se para algum n tivermos a_n=0, então f_n não está definida (divisão por zero), logo não faz sentido falar em convergência sem excluir esses termos. Por isso é necessário que a_n\neq0 para todo n (ou ao menos para n suficientemente grande).
  • Se \displaystyle a_n\to0 (e a_n\neq0 sempre), a sequência f_n pode divergir. Exemplo simples: tome a_n=\dfrac{1}{n}. Então a_n\to0, e
f_n=\frac{a_n+1}{a_n}=1+\frac{1}{a_n}=1+n,
que diverge para +\infty. Portanto a condição a\neq0 é essencial para garantir convergência finita de f_n.

Resposta

Se \displaystyle a_n\to a com a\neq0 e a_n\neq0 para todo n, então \displaystyle f_n=\frac{a_n+1}{a_n}\to\frac{a+1}{a}.
Se \displaystyle a_n\to0 (mesmo com a_n\neq0 para todo n), a sequência \displaystyle f_n pode divergir (ex.: a_n=\frac{1}{n} f_n=1+n\to+\infty).

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