Para cada equação diferencial abaixo:
  • classifique como linear ou não linear
  • determine a ordem
    \frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
  • classificar se é linear ou não linear;
  • determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é \dfrac{d y}{d x}=y^{2}. Estas são todas as informações que precisamos para responder.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
  • se aparece apenas \dfrac{dy}{dx} (primeira derivada) a ordem é 1;
  • se aparece \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (segunda derivada) a ordem é 2; e assim por diante.
Aplicando isso ao nosso caso: a equação contém apenas \dfrac{d y}{d x} (a primeira derivada) e não contém derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

O que significa uma equação diferencial ser linear? Vou explicar a definição de forma simples e com calma.
Uma equação diferencial de ordem n é linear se ela pode ser escrita na forma
a_{n}(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = g(x),
onde cada a_{k}(x) e g(x) são funções que dependem somente da variável independente x (não dependem de y), e as potências ou produtos envolvendo y ou suas derivadas aparecem apenas de forma linear (isto é, y aparece com potência 1 e não multiplicando outra função de y, nem com potências como y^{2}, \sin(y), etc.). Em palavras: linearidade significa “somente termos do tipo coeficiente(x) vezes y ou suas derivadas”, sem outras combinações não-lineares em y.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x) é uma equação linear de primeira ordem.
  • \dfrac{dy}{dx} = y^{2} é provavelmente não linear (vou mostrar formalmente a seguir).
  • \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sin(x)\, \dfrac{dy}{dx} - 3y = e^{x} é linear de segunda ordem (todos os coeficientes dependem só de x).

Passo 4

Agora aplico a definição à equação \dfrac{d y}{d x}=y^{2}. Reescrevendo para comparar com a forma linear:
\dfrac{dy}{dx} - y^{2} = 0.
Para ser linear de primeira ordem deveria ter a forma \dfrac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x). Note que o termo presente é -y^{2}, que é uma função de y não linear (é y ao quadrado). Não existe uma função p(x) tal que p(x)\,y = y^{2} para todo y (isso exigiria p(x)=y, que depende de y, o que quebra a forma linear). Portanto o termo y^{2} viola a condição de linearidade — o dependente y aparece elevado à potência 2.
Outra maneira de ver a não linearidade (útil na prova): se a equação fosse linear e homogênea, qualquer múltipla escalar de uma solução seria também solução. Suponha y(x) é solução de \dfrac{dy}{dx}=y^{2}. Considere z(x)=c\,y(x) com constante c. Então
z' = c\,y' = c\,y^{2},
enquanto o lado direito na equação para z seria (z)^{2} = c^{2}y^{2}. Para terem igualdade precisa-se de c\,y^{2} = c^{2}y^{2}, ou seja c=c^{2}, o que só acontece para c=0 ou c=1. Portanto escalares arbitrários não preservam soluções — sinal claro de que a equação é não linear.
Logo, a equação é não linear.

Passo 5

Para consolidar a intuição (e porque costuma cair em prova): esta equação é um caso clássico e é separável — isto é, pode-se separar as variáveis y e x para integrar. Embora o enunciado não peça solução, mostrar a solução ajuda a entender o comportamento das soluções e reforça o porquê da não linearidade.
Começando de \dfrac{dy}{dx}=y^{2}, se y não for identicamente zero podemos separar:
\frac{dy}{y^{2}} = dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int y^{-2}\,dy = \int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo é -y^{-1} e do direito é x + C. Assim
-\,\frac{1}{y} = x + C,
ou
y(x) = -\frac{1}{x + C},
onde C é constante de integração. Além disso, y(x)\equiv 0 também é solução (caso trivial). Essas formas de solução mostram dependência não linear de y (por exemplo, a singularidade quando x = -C), outro indicativo do caráter não linear.

Passo 6

Recapitulando de forma direta e prática para a prova:
  • basta olhar a equação e ver o maior índice de derivada para a ordem;
  • comparar a expressão com a forma linear padrão para decidir linearidade (verificar se y aparece apenas com potência 1 e sem produtos não-lineares).

Resposta

Não linear
Ordem 1

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