Para cada equação diferencial abaixo:
- classifique como linear ou não linear
- determine a ordem
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
- classificar se é linear ou não linear;
- determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é
. Estas são todas as informações que precisamos para responder.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
- se aparece apenas
(primeira derivada) a ordem é ; - se aparece
(segunda derivada) a ordem é ; e assim por diante.
Aplicando isso ao nosso caso: a equação contém apenas
(a primeira derivada) e não contém derivadas de ordem maior. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa uma equação diferencial ser linear? Vou explicar a definição de forma simples e com calma.
Uma equação diferencial de ordem é linear se ela pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de ordem
onde cada
e
são funções que dependem somente da variável independente
(não dependem de
), e as potências ou produtos envolvendo
ou suas derivadas aparecem apenas de forma linear (isto é,
aparece com potência
e não multiplicando outra função de
, nem com potências como
,
, etc.). Em palavras: linearidade significa “somente termos do tipo coeficiente(x) vezes
ou suas derivadas”, sem outras combinações não-lineares em
.
Exemplos rápidos para fixar:
-
é uma equação linear de primeira ordem. -
é provavelmente não linear (vou mostrar formalmente a seguir). -
é linear de segunda ordem (todos os coeficientes dependem só de ).
Passo 4
Agora aplico a definição à equação
. Reescrevendo para comparar com a forma linear:
Para ser linear de primeira ordem deveria ter a forma
. Note que o termo presente é
, que é uma função de
não linear (é
ao quadrado). Não existe uma função
tal que
para todo
(isso exigiria
, que depende de
, o que quebra a forma linear). Portanto o termo
viola a condição de linearidade — o dependente
aparece elevado à potência
.
Outra maneira de ver a não linearidade (útil na prova): se a equação fosse linear e homogênea, qualquer múltipla escalar de uma solução seria também solução. Suponha
é solução de
. Considere
com constante
. Então
enquanto o lado direito na equação para
seria
. Para terem igualdade precisa-se de
, ou seja
, o que só acontece para
ou
. Portanto escalares arbitrários não preservam soluções — sinal claro de que a equação é não linear.
Logo, a equação é não linear.
Passo 5
Para consolidar a intuição (e porque costuma cair em prova): esta equação é um caso clássico e é separável — isto é, pode-se separar as variáveis
e
para integrar. Embora o enunciado não peça solução, mostrar a solução ajuda a entender o comportamento das soluções e reforça o porquê da não linearidade.
Começando de
, se
não for identicamente zero podemos separar:
Agora integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do direito é
. Assim
ou
onde
é constante de integração. Além disso,
também é solução (caso trivial). Essas formas de solução mostram dependência não linear de
(por exemplo, a singularidade quando
), outro indicativo do caráter não linear.
Passo 6
Recapitulando de forma direta e prática para a prova:
- basta olhar a equação e ver o maior índice de derivada para a ordem;
- comparar a expressão com a forma linear padrão para decidir linearidade (verificar se
aparece apenas com potência e sem produtos não-lineares).
Resposta
Não linear
Ordem
Ordem