Para cada equação diferencial abaixo:
  • classifique como linear ou não linear
  • determine a ordem
    \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
  • classificar se é linear ou não linear;
  • determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial (aula rápida): a ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação.
  • Se a equação envolve até \dfrac{dy}{dx} (primeira derivada), a ordem é 1.
  • Se a equação envolve \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior, a ordem é 2.
    No enunciado vemos explicitamente a derivada de segunda ordem \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} e não há derivadas de ordem maior. Portanto a ordem será identificada a partir disso.

Passo 3

Aplicando a definição de ordem à equação dada: o maior derivado presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, que é de ordem 2.
Logo a ordem da equação é 2.

Passo 4

O que significa “linear” (aula rápida e prática): uma equação diferencial é linear de ordem n se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo do lado direito g(x) são funções somente da variável independente x (podem ser constantes) — e não envolvem y nem suas derivadas. Em outras palavras: na equação linear aparecem combinações lineares de y e suas derivadas, sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências não-lineares como y^2, \sin(y), (y')^3, etc.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Linear: \;y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x).
  • Não linear: \;y'' + y^2 = 0 (porque tem y^2), ou \;y' = y^2.

Passo 5

Aplicando o teste de linearidade à equação dada: escrevendo-a na forma padrão,
1\cdot \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 0\cdot \frac{dy}{dx} + 1\cdot y = 0.
Aqui os coeficientes são a_2(x)=1, a_1(x)=0, a_0(x)=1 (constantes, logo funções de x permitidas) e o termo do lado direito é g(x)=0. Não há produtos entre y e suas derivadas, nem potências ou funções não-lineares de y ou y'. Portanto a equação está na forma linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como reconhecer na hora):
  • Primeiro olhe o maior índice de derivada para achar a ordem.
  • Depois procure por termos como y^2, y\cdot y', \sin(y), (y')^3. Se aparecer qualquer um desses, é não linear.
  • Se todos os termos que envolvem y e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de x (ou constantes) e somados, então é linear.

Resposta

Linear
Ordem: 2

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