Para cada equação diferencial abaixo:
- classifique como linear ou não linear
- determine a ordem
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
- classificar se é linear ou não linear;
- determinar a ordem da equação.
A equação fornecida é:
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial (aula rápida): a ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação.
- Se a equação envolve até
(primeira derivada), a ordem é . - Se a equação envolve
(segunda derivada) e não aparece nenhuma derivada de ordem maior, a ordem é .
No enunciado vemos explicitamente a derivada de segunda ordeme não há derivadas de ordem maior. Portanto a ordem será identificada a partir disso.
Passo 3
Aplicando a definição de ordem à equação dada: o maior derivado presente é
, que é de ordem
.
Logo a ordem da equação é .
Logo a ordem da equação é
Passo 4
O que significa “linear” (aula rápida e prática): uma equação diferencial é linear de ordem
se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo do lado direito
são funções somente da variável independente
(podem ser constantes) — e não envolvem
nem suas derivadas. Em outras palavras: na equação linear aparecem combinações lineares de
e suas derivadas, sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências não-lineares como
,
,
, etc.
Exemplos rápidos para fixar:
- Linear:
. - Não linear:
(porque tem ), ou .
Passo 5
Aplicando o teste de linearidade à equação dada: escrevendo-a na forma padrão,
Aqui os coeficientes são
,
,
(constantes, logo funções de
permitidas) e o termo do lado direito é
. Não há produtos entre
e suas derivadas, nem potências ou funções não-lineares de
ou
. Portanto a equação está na forma linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como reconhecer na hora):
- Primeiro olhe o maior índice de derivada para achar a ordem.
- Depois procure por termos como
, , , . Se aparecer qualquer um desses, é não linear. - Se todos os termos que envolvem
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de (ou constantes) e somados, então é linear.
Resposta
Linear
Ordem:
Ordem: