Para cada espectros das séries de Fourier dos itens a seguir, obtenha a sua série trigonométrica ou exponencial, calcule o valor RMS edetermine o \mathrm{TDH}_{\mathrm{f}}.
a_{0}=0 ; a_{n}=\frac{20}{\pi^{2} n^{2}} ; b_{n}=\frac{-3}{n \pi}, \quad \forall n ímpar, 1<n<\infty

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os coeficientes de Fourier de um sinal periódico de frequência angular fundamental \omega_{0}:
a_{0}=0,\quad a_{n}=\frac{20}{\pi^{2}n^{2}},\quad b_{n}=-\frac{3}{\pi\,n},
válidos apenas para n ímpares n=1,3,5,\dots.
Conteúdos necessários:
– forma trigonométrica da série de Fourier;
– forma exponencial da série de Fourier;
– cálculo de valor eficaz (RMS) usando
V_{\mathrm{rms}}^{2}=\frac{a_{0}^{2}}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2};
– cálculo do fator de distorção harmônica
\mathrm{TDH}_{\!f} =\sqrt{\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}-V_{1,\mathrm{rms}}^{2}}{V_{1,\mathrm{rms}}^{2}}}\,.

Passo 2

Série trigonométrica: como só aparecem harmônicos ímpares, escrevemos
x(t) =\sum_{k=1,3,5,\dots}^{\infty}\Bigl[a_{k}\cos(k\omega_{0}t)+b_{k}\sin(k\omega_{0}t)\Bigr] =\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl[\frac{20}{\pi^{2}(2m+1)^{2}}\cos\bigl((2m+1)\omega_{0}t\bigr) -\frac{3}{\pi(2m+1)}\sin\bigl((2m+1)\omega_{0}t\bigr)\Bigr].

Passo 3

Série exponencial: definimos
c_{0}=\frac{a_{0}}{2}=0,\quad c_{n}=\frac{a_{n}-j\,b_{n}}{2}\quad(n>0),\quad c_{-n}=c_{n}^{*}.
Ou seja, para n ímpar positivo
c_{n} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{20}{\pi^{2}n^{2}}+j\,\frac{3}{\pi n}\Bigr),\quad c_{-n} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{20}{\pi^{2}n^{2}}-j\,\frac{3}{\pi n}\Bigr).

Passo 4

Cálculo de V_{\mathrm{rms}}:
V_{\mathrm{rms}}^{2} =\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2} =\frac{1}{2}\sum_{k=1,3,5,\dots}\Bigl[\frac{400}{\pi^{4}k^{4}}+\frac{9}{\pi^{2}k^{2}}\Bigr].
Usando as somas conhecidas
\sum_{k=1,3,5,\dots}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8},\quad \sum_{k=1,3,5,\dots}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96},
obtemos
V_{\mathrm{rms}}^{2} =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{400}{\pi^{4}}\cdot\frac{\pi^{4}}{96} +\frac{9}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8}\Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{400}{96}+\frac{9}{8}\Bigr] =\frac{127}{48},
portanto
V_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{127}{48}}\approx1{,}6266.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{TDH}_{\!f}:
– componente fundamental n=1:
V_{1,\mathrm{rms}}^{2} =\frac{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}{2} =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{400}{\pi^{4}}+\frac{9}{\pi^{2}}\Bigr] \approx2{,}50985.
– fator de distorção harmônica
\mathrm{TDH}_{\!f} =\sqrt{\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}-V_{1,\mathrm{rms}}^{2}}{V_{1,\mathrm{rms}}^{2}}} =\sqrt{\frac{\tfrac{127}{48}-2{,}50985}{2{,}50985}} \approx0{,}2327 \quad(\approx23{,}27\%).

Resposta

Série trigonométrica:
x(t) =\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl[\frac{20}{\pi^{2}(2m+1)^{2}}\cos\bigl((2m+1)\omega_{0}t\bigr) -\frac{3}{\pi(2m+1)}\sin\bigl((2m+1)\omega_{0}t\bigr)\Bigr].
Série exponencial:
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{jn\omega_{0}t},\quad c_{0}=0,\; c_{n}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{20}{\pi^{2}n^{2}}+j\frac{3}{\pi n}\Bigr)\;(n>0\text{ ímpar}).í
Valor RMS:
V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{127}{48}}\approx1{,}6266.
Fator de distorção harmônica:
\mathrm{TDH}_{\!f}\approx0{,}2327\;(23{,}27\%).

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