Represente em espectro de amplitude e em série exponencial de Fourier cada um dos sinais abaixo:
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}-\pi, & \text { se } & -\pi \leq x<0 ; \\\ x, & \text { se } & 0 \leq x<\pi ;\end{array}\right. onde f(x+2 \pi)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier exponencial e o espectro de amplitude de f(x)\), cuja extensão periódica de período \(2\pi\) é \[f(x)= \begin{cases} -\pi, & -\pi \le x<0,\\\ x, & 0 \le x<\pi. \end{cases}
Para isso vamos usar a forma geral
f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}\,e^{jkx}, \quad c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-jkx}\,dx,
e depois traçar o espectro de amplitude (\lvert c_{k}\rvert].

Passo 2

Calculamos primeiro o termo médio c_{0}:
c_{0}=\frac{1}{2\pi}\Biggl[\int_{-\pi}^{0}(-\pi)\,dx+\int_{0}^{\pi}x\,dx\Biggr] =\frac{1}{2\pi}\Bigl[-\pi\cdot\pi+\frac{\pi^{2}}{2}\Bigr] =-\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Para k\neq0 escrevemos
c_{k} =\frac{1}{2\pi}\Bigl[ \int_{-\pi}^{0}(-\pi)e^{-jkx}\,dx +\int_{0}^{\pi}x\,e^{-jkx}\,dx \Bigr] = \frac{I_{1}+I_{2}}{2\pi}.
Aqui
I_{1} =-\pi\int_{-\pi}^{0}e^{-jkx}dx =\frac{\pi}{jk}\Bigl(1-(-1)^{k}\Bigr),
e por partes
I_{2} =\int_{0}^{\pi}x\,e^{-jkx}dx =\;-\frac{\pi}{jk}(-1)^{k} \;+\;\frac{1}{k^{2}}\bigl[(-1)^{k}-1\bigr].

Passo 4

Somando I_{1}+I_{2} obtemos
I_{1}+I_{2} =\frac{\pi}{jk}\bigl(1-(-1)^{k}\bigr) -\frac{\pi}{jk}(-1)^{k} +\frac{(-1)^{k}-1}{k^{2}} =\frac{\pi}{jk}\bigl(1-2(-1)^{k}\bigr) +\frac{(-1)^{k}-1}{k^{2}}.

Passo 5

Logo, para k\neq0,
c_{k} =\frac{1}{2\pi}\Bigl[ \frac{\pi}{jk}\bigl(1-2(-1)^{k}\bigr) +\frac{(-1)^{k}-1}{k^{2}} \Bigr] =\frac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k} +\frac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}}.

Passo 6

Portanto a série exponencial de Fourier é
\boxed{ f(x) =c_{0} +\sum_{\substack{k=-\infty\k\neq0}}^{\infty} \biggl[ \frac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k} +\frac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}} \biggr] e^{jkx}, }
com
c_{0}=-\frac{\pi}{4}, \quad c_{k}=\frac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k} +\frac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}}\quad(k\neq0).

Passo 7

O espectro de amplitude é dado pelos pontos discretos
\lvert c_{k}\rvert, \quad k=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots,
onde
\lvert c_{0}\rvert=\frac{\pi}{4}, \quad \lvert c_{k}\rvert =\left\lvert \frac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k} +\frac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}} \right\rvert \quad(k\neq0).

Resposta

Série exponencial:
f(x) =-\frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{k=-\infty\k\neq0}}^{\infty} \Bigl(\frac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k} +\frac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}}\Bigr)e^{jkx}.
Espectro de amplitude: \lvert c_{k}\rvert para cada harmônico k, com \lvert c_{0}\rvert=\pi/4 e \lvert c_{k}\rvert=\bigl|\tfrac{1-2(-1)^{k}}{2j\,k}+\tfrac{(-1)^{k}-1}{2\pi\,k^{2}}\bigr| para k\neq0.

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