1. Em cada um dos exemplos abaixo, escreva matematicamente a função representada pelo texto, conforme exemplo no item a). Em todos os itens, utilize R como contradomínio.
    f) A função que, a cada número real não negativo, extrai a raiz quadrada, adiciona 8 e multiplica por \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever, em notação matemática, a função descrita pelo texto. Vou listar claramente as informações que o enunciado dá:
  • O domínio é “cada número real não negativo”, ou seja o conjunto [0,\infty).
  • O contradomínio deve ser R (o enunciado pede explicitamente que se use R como contradomínio).
  • A regra que transforma um elemento do domínio em sua imagem é: primeiro extrair a raiz quadrada, depois adicionar 8 e por fim multiplicar o resultado por \tfrac{1}{3}.

Passo 2

Lembra do que significa escrever uma função? Uma função é uma regra que associa a cada x do domínio um único y no contradomínio. Escrevemos isso como
f: \text{domínio} \to \text{contradomínio},íí
e a regra costuma ser dada como f(x)= alguma expressão em x. Aqui o domínio e o contradomínio já estão dados: domínio [0,\infty) e contradomínio R.

Passo 3

Explicando a operação “extrair a raiz quadrada”: para x real, \sqrt{x} só está definida (no conjunto dos números reais) quando x\ge 0. O valor \sqrt{x} é sempre um número real não negativo. Por isso faz sentido o domínio [0,\infty) dado no enunciado.

Passo 4

Agora vou montar a expressão passo a passo, exatamente na ordem do enunciado:
  • Primeiro: aplicar \sqrt{\;\cdot\;} em x, ficando \sqrt{x}.
  • Segundo: adicionar 8, ficando \sqrt{x}+8.
  • Terceiro: multiplicar por \tfrac{1}{3}, ficando \tfrac{1}{3}\bigl(\sqrt{x}+8\bigr).
Posso também escrever a expressão equivalente distribuída:
\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{x}+8\bigr)=\frac{1}{3}\sqrt{x}+\frac{8}{3}.

Passo 5

Confirmando que a regra não introduz nenhuma nova restrição no domínio: como \sqrt{x} exige x\ge 0 e todas as operações seguintes (adição e multiplicação por \tfrac{1}{3}) são bem definidas para qualquer número real, o domínio continua sendo [0,\infty). O contradomínio, por pedido do enunciado, é R, mesmo que a imagem real da função seja o intervalo [\tfrac{8}{3},\infty).

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia:
  • Para x=0:
f(0)=\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{0}+8\bigr)=\frac{1}{3}\cdot 8=\frac{8}{3}.
  • Para x=9:
f(9)=\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{9}+8\bigr)=\frac{1}{3}\cdot(3+8)=\frac{11}{3}.
  • Para x=16:
f(16)=\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{16}+8\bigr)=\frac{1}{3}\cdot(4+8)=4.

Resposta

f:[0,\infty)\to R,\quad f(x)=\dfrac{1}{3}\bigl(\sqrt{x}+8\bigr)

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