Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função
no intervalo
usando
uma soma superior com 8 retângulos.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função
uma soma superior com 8 retângulos.
Passo 1
A ideia é aproximar a área sob a curva da função f(x)=1−x² em [0,1] usando soma superior (upper sum) com 8 retângulos. Vamos precisar dividir o intervalo em 8 partes iguais, usar Δx e o fato de que f é decrescente em [0,1] para escolher a altura de cada retângulo.
Passo 2
O tamanho de cada subintervalo é dado por
Então os pontos da partição são x_i = i·(1/8), para i=0,1,…,8.
Passo 3
Como f’(x)=−2x<0 em todo [0,1], a função é estritamente decrescente. Logo, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], o valor máximo de f ocorre em x_{i-1}. A soma superior fica
Passo 4
Substituindo x_{i-1} = (i-1)/8 e f(x)=1−x² temos
Passo 5
Sabendo que
, vem
Resposta
A aproximação pela soma superior com 8 retângulos é
.