Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função f(x)=1-x^2 no intervalo [0,1] usando
uma soma superior com 8 retângulos.

Passo 1

A ideia é aproximar a área sob a curva da função f(x)=1−x² em [0,1] usando soma superior (upper sum) com 8 retângulos. Vamos precisar dividir o intervalo em 8 partes iguais, usar Δx e o fato de que f é decrescente em [0,1] para escolher a altura de cada retângulo.

Passo 2

O tamanho de cada subintervalo é dado por
Δx = 1-08 = 18
Então os pontos da partição são x_i = i·(1/8), para i=0,1,…,8.

Passo 3

Como f’(x)=−2x<0 em todo [0,1], a função é estritamente decrescente. Logo, em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], o valor máximo de f ocorre em x_{i-1}. A soma superior fica
U8 = sumi=1^8 f(xi-1),Δx

Passo 4

Substituindo x_{i-1} = (i-1)/8 e f(x)=1−x² temos
U8 = 18sumi=1^8l(1-l(tfraci-18r)^2r) = 18l[sumi=1^81 - 164sumi=1^8(i-1)^2r] = 18l[8 - 164sumj=0^7j^2r]

Passo 5

Sabendo que sumj=0^7j^2 = 0+1+4+9+16+25+36+49=140, vem
U8 = 18l[8 - 14064r] = 1 - 140512 = 372512 = 93128 approx 0,72656

Resposta

A aproximação pela soma superior com 8 retângulos é U8=93128approx0,72656.

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