Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função f(x)=1-x^2 no intervalo [0,1] usando
uma soma inferior com 8 retângulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação para a área sob o gráfico da função no intervalo usando uma soma inferior com 8 retângulos. Então, o que vamos usar aqui é um método de somas de Riemann, especificamente a soma inferior, que é uma técnica de cálculo para estimar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo De em 8 partes iguais. Para isso, a largura de cada retângulo, que chamamos de , é calculada dividindo o comprimento do intervalo pelo número de retângulos:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função para determinar a altura de cada retângulo. Como estamos usando a soma inferior, para cada subintervalo, usamos o menor valor da função naquele intervalo como altura. Isso garante que estamos subestimando a área, o que é característico da soma inferior.

Passo 4

Vamos calcular os pontos finais de cada subintervalo para poder encontrar os mínimos. Os pontos são:
x0 = 0, x1 = 0,125, x2 = 0,25, x3 = 0,375, ldots, x8 = 1

Passo 5

Em cada subintervalo f(xi) = 1 - xi^2 , encontramos o valor mínimo da função . Como a função é decrescente no intervalo , o mínimo de cada subintervalo será no ponto direito :

Passo 6

Agora, vamos calcular a altura de cada retângulo usando os valores mínimos:
f(x1) = 1 - (0,125)^2 = 1 - 0,015625 = 0,984375
f(x2) = 1 - (0,25)^2 = 1 - 0,0625 = 0,9375
f(x3) = 1 - (0,375)^2 = 1 - 0,140625 = 0,859375
vdots
f(x8) = 1 - (1)^2 = 0

Passo 7

Com as alturas dos 8 retângulos calculadas, multiplicamos cada uma pela largura Área approx De e somamos todos os resultados para obter a aproximação da área:
Á

Passo 8

Vamos somar os valores das alturas:
f(x1) + f(x2) + ldots + f(x8) = 0,984375 + 0,9375 + 0,859375 + 0,75 + 0,609375 + 0,4375 + 0,234375 + 0 = 4,171875
Multiplicando pela largura:
Área approx 0,125 times 4,171875 = 0,521484375 Á

Resposta

A aproximação para a área sob o gráfico de no intervalo usando uma soma inferior com 8 retângulos é aproximadamente 0,5215 unidades quadradas.

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